合情猜想促進深度學習的實踐研究

【摘 要】深度學習是一種高階的理解性學習，以知識的遷移來解決復雜問題。本文從創設情境、提出猜想、探究猜想、論證猜想等環節出發，構建合情猜想促進深度學習的教學模式。本文以函數y=x+[1x]的教學為例，以真實情境為起點，開展合情猜想，整合學科知識，引導學生深刻理解數學知識和深度體會數學思想，從而提高學生的知識建構、遷移和應用的能力。

【關鍵詞】合情猜想；深度學習；高中數學；實踐研究

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。［1］3這要求學習者看待新知識時要深入思考、提出疑問，從而加深對深層知識和復雜概念的理解，高效地把握數學內容的本質。因此，在課堂教學中，教師要有效引發學生的深度思考，幫助學生產生質疑，提出合情猜想。那么，如何有效引發學生深度思考？如何通過思考幫助學生提出合情猜想？在猜想的過程中如何促進深度探究？針對這些問題，本文以函數y=x+[1x]的教學為例，研究通過合情猜想促進深度學習的實施路徑。

二、深度學習的內涵

20世紀50年代，布盧姆指出學習有深淺層次之分。1976年，Marton等首次提出了深度學習的概念。深度學習是一種主動的、高投入的、理解記憶的、涉及高階思維且學習結果遷移性強的學習狀態和學習過程。學生知識學習的深刻程度決定了其學習結果的差異性。［2］

學生的深度學習需要建立在教師深度教導、引導的基礎之上，要以深度教學引導深度學習。近年來，國內學者深入研究了深度學習的教學策略［3-5］。2017年，郭元祥提出了實現學生深度學習的教學策略之一是問題導向策略，教師應以問題為導向，引導學生理解知識背后的思維［4］。鄭毓信強調深度教學的重要環節之一是用問題引導教學［5］。本文認為合情猜想是深度教學的有效途徑之一，因為合情猜想從問題入手，引導學生進行合理猜想，運用遷移的思維將相關知識連接起來，促使學生從本質上把握數學的本質和思想，為深度學習奠定基礎。

三、深度學習下合情猜想設計的路徑

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出通過數學建模活動與數學探究活動，發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論［1］35。在數學教學過程中，落實“學生為主體，教師為主導，問題為主線，思維為主攻”的教育思想［6］，是合情猜想設計的核心。

（1）創設情境，引發認知沖突

蘇聯著名物理學家福克曾指出，“偉大的，以及不僅是偉大的發現，都不是按邏輯的法則發現的，而都是由猜想得來的”。［3］實踐與數學教學情境是學生獲得直覺的有效途徑，在教學過程中，教師要依據教材內容，借助學生的生活經驗，創設教學情境，讓學生產生認知沖突，繼而開展合理猜想。

（2）深入設計提問，開展合情猜想

皮亞杰認為，認知是主客體相互作用的過程，主體運用自己的認知結構或同化或順應外界的刺激，推動認知的發生與發展，進而達到知識的平衡狀態。數學猜想是人類探索數學本質時的一種認知策略，是在已有知識儲備和認知經驗上運用非邏輯手段而獲得的一種假設。在教學過程中，教師要深入分析、理解教材，基于學生已有的知識經驗，抓住探索“生長點”，設計提問，鼓勵學生“按圖索驥”發現問題、提出問題，在正確導向下讓學生產生認知沖突，引導學生大膽猜想。

（3）深入剖析，猜推結合

當學生產生各類猜想后，教師要及時掌控課堂，按數學知識的體系與結構，“抽絲剝繭”，厘清不合理猜想，引導學生的猜想去往正確的方向。同時，通過類比、歸納、比較等方式，將抽象、復雜的知識簡單化，引導學生更加科學、清晰地找到推理論證的關鍵點，主動融入數學推理的過程，嚴格論證，實現深度學習。

四、深度學習下合情猜想的實踐

“探究函數y=x+[1x]的圖象與性質”是2019年人教A版普通高中教科書《數學》必修第一冊第三章“函數的概念與性質”的“探究與發現”的內容，該內容位于冪函數之后，是必修課程函數主題比較重要的內容。函數是高中數學課程內容的主要模塊之一，函數的觀點和方法貫穿整個高中數學，把高中數學的各個分支緊緊連在一起。在系統學習了必修第一冊中函數的概念、基本性質及冪函數后，教材給出了7個問題，為探究函數y=x+[1x]的圖象與性質指明了方向。

基于上述深度學習下合情猜想的設計路徑，本文以“探究函數y=x+[1x]的圖象與性質”（函數y=x+[1x]俗稱“對勾函數”）一課為例，嘗試從“創設情境—合情猜想—嚴格論證”三方面四環節（如圖1）設計與實施教學。

環節1：創設情境，搭建平臺

數學源于生活，并服務于生活。教師要創設真實的生活問題，在解決實際問題與數學問題時引發學生的認知沖突，從而構建數學創生課堂，激發學生的探究欲。

【生活情境】李阿姨想在自家陽臺用籬笆圍一個面積為2m2的矩形菜圃（如圖2），已知墻長1.5m，設AB邊長為x，籬笆長為y。

（1）求y關于x的函數關系式，并指出其定義域。

（2）當這個矩形邊長AB為多少時，所用籬笆最短？

【學生活動】求得函數解析式為y=x+[4x]（0＜x＜1.5），對于問題（2）則根據基本不等式可得y=x+[4x]≥[2x·4x=4]，當且僅當x=2時，等號成立，此時學生發現x的取值大于墻長，無法求解問題（2）。

【教師引導】能否從函數的角度思考這個問題？

【學生猜想】猜想此函數在（0，2）上是減函數，在（2，[+∞]）上是增函數，而由第（1）問知0＜x＜1.5，所以猜測x=1.5時，取得最小值y=1.5+[41.5=256]。

【引出問題】數學是嚴謹的，只有猜想是不夠的，我們該如何驗證猜想？

【學生活動】討論交流，探討y=x+[4x]（0＜x＜1.5）在區間（0，2）上的單調性，并由此確定y=x+[4x]（0＜x＜1.5）的最小值。學生嘗試用函數單調性的定義來證明。

【設計意圖】結合教學目標與學情，教師創設李阿姨在陽臺圍菜圃的真實情境，學生在求最短籬笆問題時，根據第（1）問的函數解析式的結構聯想到基本不等式，但此時發現基本不等式取等號的條件不滿足函數的定義域，引發學生的認知沖突。接著教師借助y關于x的函數關系式，引導學生從函數的角度進行猜想，學生根據基本不等式得到的當x=2時y可取得最小值，推測函數在區間（0，2）上是減函數，在區間（2，[+∞]）上是增函數。此環節教師讓學生經歷了知識的發生與連接過程，激發了學生深度探究的欲望，同時為接下來該如何研究對勾函數的性質做好鋪墊。

環節2：問題引導，引發猜想

數學猜想是人在探索數學本質時的一種認知策略，它是學生在已有知識儲備和認知經驗的基礎上運用非邏輯手段獲得的一種假設。在教學探究過程中，教師要基于學生的已有知識和認知水平提出猜想性問題，鼓勵學生不斷聯系已有知識進行合理猜想，吸引學生的學習注意力。

【教師引導】我們知道函數y=x和y=[4x]都是基本初等函數，函數y=x是一次函數，y=[4x]是反比例函數。那么，將一次函數和反比例函數的解析式通過加法運算構成的函數y=ax+[bx]（ab[≠]0）有哪些性質呢？你又如何研究這一函數的圖象與性質？

【學生猜想】聯想正比例函數y=ax與反比例函數y=[bx]，從特殊情況入手，可先研究最簡單且特殊的函數y=x+[1x]，進而推廣至一般形式的函數y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）性質的研究。

【教師提問】你們將按照怎樣的路徑研究這個函數？請以小組為單位進行討論。

【教師追問】對勾函數y=x+[1x]是由正比例函數y=x和反比例函數y=[1x]疊加而成的函數，這兩個函數的性質是否影響對勾函數的性質？

【師生合作】在教師引導下，學生歸納總結出研究函數y=x+[1x]的圖象與性質的一般路徑，如圖3。

【設計意圖】要研究一個新的函數，需要從學生已有的知識出發。教師帶領學生分析函數結構后，提出探究正比例函數和反比例函數疊加后得到的新函數的性質。學生在感受新舊知識間的聯系后，能聯想到將函數特殊化，即先研究函數y=x+[1x]的性質，教師在此基礎上引導學生關注正、反比例函數性質對函數y=x+[1x]的性質有怎樣的影響，由此學生可依據正、反比例函數的基本性質提出猜想，分別從函數y=x+[1x]的定義域、奇偶性、最值、單調性、漸近線和圖象等六個方面依次探究。教師以探究函數性質的基本路徑為契機，讓學生經歷深度挖掘函數內在本質的過程，達到知識的正向遷移。

環節3：驗證猜想，注重推理

通過數學猜想能初步探究出“是什么”，但要深入數學本質，還需要解決“為什么這樣猜想”，只有解決好這兩個問題才能明確“為何這樣探究”。因此，猜想是推理的基礎，為推理創造條件。

【教師提問】（1）請寫出函數y=x+[1x]的定義域，并判斷函數y=x+[1x]的奇偶性。

（2）如何求出函數y=x+[1x]的最值。

【學生活動】函數y=x+[1x]的定義域為（[-∞]，0）[?]（0，[+∞]）；函數圖象關于原點對稱，根據奇偶函數的定義，判斷函數y=x+[1x]為奇函數。由基本不等式可得，當且僅當x=1時，函數y=x+[1x]（x＞0）最小值為2，無最大值。又因為函數y=x+[1x]是奇函數，由奇函數的性質可知，當且僅當x=-1時，函數y=x+[1x]（x＜0）最大值為-2，無最小值。

【教師引導】研究完了函數的奇偶性，依據研究函數y=x+[1x]的圖象和性質的一般路徑，讓學生猜一猜函數y=x+[1x]的單調性是怎樣的。

【學生猜想】結合課前引入，學生很容易猜想得到y=x+[1x]（x＞0）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，[+∞]）。再結合奇函數的性質可得，函數y=x+[1x]的單調遞減區間為（-1，0），（0，1），單調遞增區間為（[-∞]，-1），（1，[+∞]）。

【師生活動】在學生得出猜想后，教師引導學生驗證猜想，鼓勵學生利用函數單調性的定義板演證明過程，最后得出結論：函數y=x+[1x]的單調遞減區間為（-1，0），（0，1），單調遞增區間為（[-∞]，-1），（1，[+∞]）。

【設計意圖】在確定了探究函數y=x+[1x]的圖象和性質的一般路徑后，教師依次提出問題，引導學生得到函數的定義域和奇偶性，但在求單調性時要“往回看”，類比課前導入，利用基本不等式求出函數最值，并合理猜想出函數的單調區間，再利用函數單調性的定義驗證猜想的正確性。學生在探究函數y=x+[1x]的最值和單調性的過程中，經歷了從猜想到論證推理的過程，深度理解函數的基本性質。

環節4：猜推結合，嚴格論證

在經歷了驗證猜想后，學生能初步明晰猜想的意義，但是，根據數學嚴謹性的特征，還須進行嚴格論證，讓學生真正“知其然，知其所以然”，深入理解數學的內涵和本質。

【教師引導】函數y=x+[1x]是由正比例函數和反比例函數疊加而成的，那么這兩個函數的圖象是否對對勾函數圖象的變化有影響？讓學生畫出函數y=x和函數y=[1x]的圖象（見圖4），從變化趨勢、圖象位置等方面展開研究，并談談發現。

【學生活動】學生進行小組討論交流，不同小組在觀察函數圖象（圖5）后從不同角度進行合情猜想。如從正、反比例函數圖象的變化趨勢猜測對勾函數圖象的變化趨勢：函數y=x是勻速增長的，函數y=[1x]是單調遞減的，當x[∈]（0，1）時，函數y=[1x]遞減速度較快，此時，反比例函數占主要影響，因此對勾函數在x[∈]（0，1）上單調遞減，當x[∈]（1，[+∞]）時，函數y=[1x]遞減速度減慢，此時一次函數占主要影響，對勾函數單調遞增。

【教師引導】曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為曲線的漸近線。那么函數y=x+[1x]是否有漸近線？是什么？如圖6，教師借助幾何畫板，與學生一起觀察。

【學生活動】通過觀察，共同得出結論：函數y=x+[1x]有漸近線，分別為y軸和y=x。

【師生合作】師生共同總結函數的性質，并指出畫函數y=x+[1x]圖象的一般步驟及關鍵點：首先，根據函數的奇偶性，作出函數的第一象限圖象，再對稱到第三象限；其次，結合函數單調性，畫出圖象在第一象限的變化趨勢，再依據最值，找出第一象限的最低點（1，2）；最后，注意觀察，曲線無限靠近y軸與直線y=x。

【設計意圖】對勾函數是由函數y=x和函數y=[1x]疊加而成，教師引導學生通過兩函數圖象初步猜想函數y=x+[1x]圖象的變化趨勢：當x＞0時，y=x+[1x]＞x，因此函數y=x+[1x]的圖象始終位于函數y=x圖象上方且不相交，同時類比反比例函數的漸近線可合理猜測直線y=x是對勾函數的漸近線，再由奇偶性得出第三象限的函數圖象和另外一條漸近線。接著，借助信息技術手段科學準確地繪制出函數y=x+[1x]的圖象，驗證了學生的猜想。教師指引學生經歷提出猜想、探究猜想、論證猜想的全過程，全面、深刻地理解了對勾函數的性質。

五、教學反思

教師的“教”與學生的“學”是相輔相成的，為更好地促進教育教學改革，須將教師深度教學和學生深度學習高度融合，真正落實“學生為主體，教學為主導，問題為主線，思維為主攻”的教育思想。在實施教學時，教師要注重以問題誘發學生猜想，以猜想助推論證，滲透合情猜想的方法，引導學生養成深入挖掘數學知識內涵的良好習慣，達成深度學習，最終提升學生的數學學科核心素養。

1.情境是引發學生提問的基礎

蘇霍姆林斯基認為：“人的內心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發現者、研究者、探索者。”［7］學生當然也希望在數學課堂中體驗發現與探索的過程，這就需要教師在課前創設貼近學生最近發展區的真實情境問題，既能讓學生輕松想到如何解決，又能給學生設置“跳一跳”就能跨越的“障礙”。例如，本文課例中給出了李阿姨在陽臺圍菜圃的實際情境，學生能很快聯想到利用基本不等式求最值，但隨即遇到“障礙”無法解答，教師再提出從函數的角度求解此問題，啟發學生思考該如何研究函數y=x+[4x]的最值，進而緊抓函數本質，深入探究其性質。學生能調用已有知識與認知經驗，以情境為問題發生的基礎，經歷“提問—探究—再提問—再探究”的思維過程，讓學習往深層次發生。

2.問題是激發學生猜想的核心

學生提出問題后須解決問題。問題的解決需要根據已有的數學知識和數學經驗，對待解決的數學對象進行觀察、分析、比較、歸納［8］，提出較為合理的猜想。如本文課例中，教師提出問題后，學生先是根據基本不等式知道在x=2處取得最小值，猜想出函數y=x+[4x]的單調區間，接著教師提出要驗證上述猜想，學生則聯系已有知識對函數y=x+[4x]進行結構劃分，將其看成是由正比例函數y=x和反比例函數y=[4x]疊加而成，自然而然地由兩個基本初等函數的疊加性質猜想新函數的性質。但也會有學生提出質疑，y=x是增函數，y=[4x]是減函數，增函數與減函數通過加法運算構成的新函數的單調性是目前所學知識無法解決的，認為應該考慮函數單調性的定義。這樣不斷“設疑—解疑—質疑—解惑”的修正過程滲透了猜想的方法。因此，教師若要自然而然地激發學生合情猜想的欲望，就要提出有價值的問題，也就需要教師在提出問題前認清學生已知道什么知識，獲得什么技能，具備什么能力，以及這些知識技能與本節課所要達到知識技能之間的差距。

3.驗證猜想是觸發學生探究的關鍵

數學猜想是以問題為邏輯推理的基點，運用學生已有的數學知識與數學經驗進行分析與判斷，但僅有分析與判斷是不能解決問題的，還必須證實或證偽猜想。本文課例在引發學生猜想后，類比得出研究對勾函數的一般路徑，從正比例函數y=x和反比例函數y=[1x]的圖象入手，對變化趨勢和圖形位置展開研究，發現函數y=x+[1x]在不同區間受不同函數影響，進而借助幾何畫板畫出函數y=x+[1x]的圖象，指出其變化趨勢和漸近線。在學生提出猜想后，教師不僅可以引導學生去搜尋與猜想相關的數學概念、性質、結論或已解決的問題，找到聯系與區別，還可以引導學生多視角去觀察問題，用不同的形式表征猜想，最終在“一猜一推”間，挖掘數學知識的內涵與本質。

4.合情猜想是促進深度學習的基石

深度學習強調學習內容的整合。［9］在“設疑—解疑—質疑—解惑”的猜想與驗證過程中，學生不斷把新知識與已有知識建立連接，不僅加強了對知識內部結構的理解，還能體會數學思想方法，積累數學活動經驗。在本文課例中，對函數y=x+[4x]的結構分析，一方面可以猜想到基本不等式，但是會發現基本不等式在求解函數最值時有一定局限性；另一方面可猜想到正比例函數和反比例函數的性質對函數y=x+[4x]性質的影響，由此聯系基本初等函數的性質來研究函數y=x+[4x]的性質，進而獲得對勾函數研究的一般路徑。這一路徑又可以成為后續學習指數函數和對數函數的性質的基石，達成了知識的遷移與應用。課堂只是給學生提供了一個思維起點，就本文課例而言，學生也可以從函數y=ax+[bx]的系數a，b的正負性自然而然地提出猜想——“a，b同號與a，b異號，函數y=ax+[bx]的性質是否一致？”，這樣的“留疑”能讓學生在課外不斷向未知探究，也能幫助學生更系統地理解此函數。因此，數學教育應給學生提出猜想的機會，體驗探究的過程，更好地實現深度學習。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］MARTON F，SALJO R. On qualitative difference in learning：outcome and process［J］. British Journal of Education Psycholgy，1976（1）：4-11.

［3］鄭青岳. 猜測方法及其在物理解題中的作用［J］. 物理教師，1993：5-7.

［4］郭元祥. 論深度教學：源起、基礎與理念［J］. 教育研究與實驗，2017（3）：1-11.

［5］鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐［J］. 數學教育學報，2019（5）：24-32.

［6］代欽，王光明，吳立寶. 新版課程標準解析與教學指導［M］. 北京：北京師范大學出版社，2018：113.

［7］曹一鳴. 數學教學論［M］. 2版. 北京：高等教育出版社，2020：96.

［8］薛新龍. 滲透數學猜想 提升思維品質［J］. 數學教學通訊，2023（12）：72-74.

［9］安富海. 促進深度學習的課堂教學策略研究［J］. 課程·教材·教法，2014（11）：57-62.

（責任編輯：潘安）