實系數一元三次方程韋達定理及其應用

實系數一元三次函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是一個重要的函數，該函數的研究是其他函數研究的基礎，其圖象和性質及應用是高考考查的重點和熱點.在代數發展史的一段時間內，解一元多項式方程一直是人們研究的一個中心問題.三次函數的零點即為對應三次方程的根，所以從函數與方程的角度研究三次函數的零點是一個重要的突破點.

1 問題引例

2 實系數一元三次方程韋達定理及其應用

對于一元三次方程的韋達定理，人教A版（2019）數學必修第二冊第七章“復數”第81～82頁“閱讀與思考”中，從代數基本定理出發，給出了實系數一元多項式方程的根與系數之間的關系.下面給出實系數一元三次根與系數之間的關系的應用.

2.1 韋達定理的正用

評注：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的圖象等，以“等高線”的形式作為條件，實質以“一元三次方程的韋達定理”作為背景設置選項，故用韋達定理解答極為方便.

2.2 韋達定理的逆用

2.3 與其他知識的融合

3 拓展探究

目前，對一元高次方程韋達定理及其應用的考查在競賽或“強基”中比較常見，但還沒有出現在高考中.現在一元三次方程韋達定理已經登上了新教材的大雅之堂，在解題的過程中則可以直接加以應用，為解題帶來便利，這應引起老師和同學們的注意.