巧設曲線系，妙算“解幾”題

摘要：曲線系方程是平面解析幾何問題中比較常見的一種特殊方程形式，也是破解問題的一種技巧與方法.綜合常見的圓系、橢圓系以及雙曲線系等曲線系方程，結合實例加以剖析，總結曲線系的設置方式與應用，引領并指導數學教學與學習以及解題研究.

關鍵詞：曲線系；圓；橢圓；雙曲線；方程

靈活巧妙設置曲線系是破解平面解析幾何中最重要的解題方法和技巧策略之一，涉及直線系、圓系、橢圓系、雙曲線系、拋物線系等一些常見的對應曲線系.根據條件，合理巧設平面解析幾何中對應的曲線系，可以使得解幾問題的破解更加直接，優化解幾運算，簡捷明快，提升解題效益，事半功倍.

本文中結合平面解析幾何中二次曲線系的設置，特別是比較常見的圓系、橢圓系以及雙曲線系等曲線系的創設，通過實例加以剖析，總結曲線系的設置規律與解題技巧策略，拋磚引玉.

1 巧設圓系

分析：根據題設，通過設置直線l的方程，與雙曲線方程聯立，利用函數與方程思維，結合韋達定理構建A，B兩點的橫坐標的積的表達式，再通過外接圓的圓系方程的設置，結合待定系數法的應用，抓住相關圓的基本性質以及圓與雙曲線的位置關系，通過不同的函數與方程關系中的韋達定理的聯系，再次確定A，B兩點的橫坐標的積，等價轉換，設而不求，巧妙轉化與應用，得以確定直線l的斜率.

點評：合理借助三角形的外接圓的圓系方程的設置，抓住直線與雙曲線、雙曲線與圓的交點均在同一直線來合理聯系，應用待定系數法，結合函數與方程思維來合理破解與應用.抓住圓的基本性質、結構特征以及與其他元素的關系等，合理創設圓系方程，可以更加直接聯系起圓與其他點、直線、圓錐曲線等元素，解決問題更加簡單快捷.

2 巧設橢圓系

點評：橢圓系方程可以聯系起已知橢圓與所求橢圓、已知橢圓與所求雙曲線等之間的關系，要利用與已知橢圓具有某一公共特性的曲線系加以合理創設.特別是與已知橢圓共焦點的曲線系方程，要根據參數的不同取值情況確定相應的橢圓方程或雙曲線方程，不要產生混淆.

3 巧設雙曲線系

點評：共漸近線的雙曲線系方程是雙曲線系方程中最為常見的一種曲線系方程，對應方程的焦點可以同軸也可以不同軸，要結合參數的正負取值情況加以合理判斷與應用.而與已知雙曲線共焦點的曲線系方程，同樣要根據參數的不同取值情況來確定對應相應的橢圓方程或雙曲線方程.

借助平面解析幾何中相應曲線系的巧妙設置，厘清相關曲線的定義，把握曲線的幾何性質，合理靈活轉化，更加直接有效地指明破解問題的方向，直達目的.曲線系的引入，避免解幾解題過程中復雜的判斷、可能產生的分類討論、繁雜的代數運算等，優化解題過程，減少數學運算，全面提升解題效率與解題效益，能更好地培養學生的數學核心素養.