一道向量模的最值試題的探究

摘要：平面向量自身同時兼備“數”與“形”的雙重特征，這也給平面向量問題的解決提供更加寬廣的思維空間.借助一道平面向量模的最值問題的求解，合理進行聯想，利用平面解析幾何思維、平面幾何思維以及平面向量思維等聯想結果來切入與應用，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：平面向量；最值；聯想；橢圓；基本不等式

數學解題就是將數學“四基”與具體問題加以聯系，而這個過程中，聯想思維是非常重要的.聯想是數學思維的翅膀，聯想往往能出奇招.抓住數學問題的應用場景、定義或公式等形式進行充分展開聯想，讓數學思維飛翔，可以為問題的破解提供更加豐富的思路，為問題的切入奠定基礎.

1 問題呈現

而實際剖析問題條件，挖掘平面向量關系式（兩個向量的和與差的模的和）的結構特征，合理聯想到與之相應的平面解析幾何思維、平面幾何思維以及平面向量思維等，借助相應的技巧與方法來切入與應用，進而實現問題的突破與求解.

2 問題破解

2.1 平面解析幾何思維

反思：根據題設中的平面向量關系式的結構特征，合理聯想其對應的幾何意義，進而利用橢圓的定義，巧妙構建橢圓及其相應的方程，利用函數與方程思維來分析與求解.這是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法，合理“串聯”起平面向量、平面解析幾何、函數與方程等知識之間的交匯與融合.而該思維方法產生的一個間接產物——“|[WTHX]b[WTBX]|的取值范圍”，可為問題的進一步變式與拓展創造條件.

2.2 平面幾何思維[KH-1]

反思：根據平面幾何圖形的構建，抓住三角形中對應線段的長度，聯系起三角形的中線長公式來合理構建關系式，為問題的進一步分析與求解奠定基礎.而合理綜合基本不等式來巧妙放縮，達到確定向量模的最值的目的.回歸平面向量中“形”的結構特征，綜合應用三角形中的基本性質等，是解決平面向量綜合問題中比較常見的一種思維方式，也是解決問題的技巧與策略.

2.3 平面向量思維

反思：根據條件中兩個平面向量的和與差的模的關系式，聯想到平面向量的數量積公式，直接利用兩個平面向量的和與差的平方公式加以轉化，利用平面向量的方法來分析與求解，綜合基本不等式來合理放縮，是解決該問題中最為簡捷的一種技巧方法，也是該問題考查的一個重要基本點.有關向量綜合問題，有時借助純平面向量的方法，可以實現最優化的數學思維與應用.

3 變式拓展

3.1 深入變式

當然，該變式1是由原問題的方法1深入變式拓展而來的，其實也可以直接利用平面解析幾何思維來分析與求解.

3.2 發散變式

4 教學啟示

平面向量是一個特殊的數學基礎知識，其同時兼備“數”與“形”的雙重特征，“數”中隱含幾何特征，“形”中涉及代數性質，是有效溝通代數與幾何之間的一個橋梁，是代數與幾何一個完美結合.

基于此，在解決平面向量的綜合應用問題時，要抓住平面向量的基本特征，合理從“數”或“形”的視角加以巧妙聯想，借助“數”的基本性質聯想相應的幾何意義或代數模型，借助“形”的基本特征聯想相應的幾何圖形或代數性質，從不同層面構建與題目條件相應的代數模型或幾何圖形，利用與之相關的數學思維（往往是平面向量思維、三角形思維、平面解析幾何思維、函數與導數思維等）切入，進而為問題的解決提供一個更加契合的條件，實現問題的巧妙解決.