—道直線與圓綜合試題的探究

直線與圓是初中平面幾何中的兩類基本平面圖形，又是高中平面解析幾何中的兩類最簡單的基本圖形.特別是涉及直線與圓的位置關(guān)系問題，巧妙鏈接起初中與高中階段的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，同時涵蓋了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，涉及直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，成為每年高考數(shù)學(xué)試卷中命題的基本點(diǎn)之一，備受各方關(guān)注.

特別在解決直線與圓的位置關(guān)系的綜合問題時，可以從自身的代數(shù)屬性或內(nèi)涵的幾何特征等不同思維視角切入，很好發(fā)散數(shù)學(xué)思維與拓展技巧策略，又巧妙吻合高考“在知識交匯點(diǎn)處”命題的基本指導(dǎo)精神，創(chuàng)新新穎，常考常新.

1 問題呈現(xiàn)

此題借助含參直線方程與已知圓的方程的創(chuàng)設(shè)，利用兩線段之間的長度關(guān)系設(shè)置場景，進(jìn)而確定對應(yīng)的參數(shù)值問題.問題比較熟悉，難度也比較適中，充分考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本能力.

在實(shí)際解答時，可以從不同思維視角切入，通過不同的技巧方法與思維策略來突破與分析實(shí)現(xiàn)問題的分析與處理.

2 問題破解

反思：在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，方程思維是解決問題時比較常用的一種技巧方法.借助點(diǎn)或直線的設(shè)置，與圓的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理的應(yīng)用，建立與交點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的關(guān)系式，為問題的突破與求解提供條件.利用方程法解題時，往往要注意方程有解的隱含條件.

反思：在解決平面解析幾何中涉及線段的比例關(guān)系（或等分點(diǎn)等）問題中，向量法思維可以有效建立相應(yīng)的關(guān)系式，為問題的突破與求解奠定基礎(chǔ).特別解決涉及線段的中點(diǎn)問題時，經(jīng)常利用平面向量的中線定理來建立向量的線性關(guān)系式，給問題的解決拓展思維，成為向量法解決平面解析幾何問題中的常態(tài).

反思：抓住直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓的對稱性，從逆向思維切入，并結(jié)合單選題的特征，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙突破，解答起來更加簡單快捷，甚至達(dá)到“秒殺”的效果.對稱性法只是解決此類平面解析幾何問題中直觀想象與數(shù)形結(jié)合的一個基本思維，在實(shí)際應(yīng)用中要合理構(gòu)建.該對稱性法只針對一些特殊場景下的問題應(yīng)用，不具有推廣性與普遍性.

總結(jié)：在以上解法中，解法1與解法2是借助平面解析幾何思維來分析與處理，解法3是借助平面向量思維來分析與處理，解法4是借助平面幾何思維來分析與處理，這幾種方法都是解決平面解析幾何問題中比較常見的“通性通法”；而解法5是借助特殊設(shè)置場景下的一種“巧技妙法”，具有一定的直觀形象思維與數(shù)形結(jié)合思想.不同的技巧方法展示不同的數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用技巧，開拓一個更加發(fā)散的思維空間與應(yīng)用場景.

3 變式拓展

4 教學(xué)啟示

4.1 合理交匯，巧妙應(yīng)用

基于直線與圓的位置關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的巧妙融合，可以從“數(shù)”的視角切入，合理進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算；也可以從“形”的視角切入，巧妙進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.

同時，直線與圓的位置關(guān)系問題合理滲透直線與圓二者之間的“動”與“靜”的和諧統(tǒng)一，巧妙實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本能力等方面的綜合與應(yīng)用，有效鞏固“四基”，強(qiáng)化“四能”，使得學(xué)生的解題思維更加開闊，解題思路更加活躍，數(shù)學(xué)知識的掌握更加熟練，問題的破解更加快速有效.

4.2 變式拓展，“一題多變”

借助一些典型的數(shù)學(xué)試題的應(yīng)用，合理挖掘問題的本質(zhì)屬性，整合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，開拓數(shù)學(xué)基本思維，并借助“一題多解”“一題多思”“一題多變”“多題一解”等方式的深入探究與創(chuàng)新應(yīng)用，達(dá)到“一題多得”.

基于典型數(shù)學(xué)試題的應(yīng)用，深入挖掘內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，巧妙分析與解決，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力與數(shù)學(xué)解題能力，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動性和趣味性等，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平和數(shù)學(xué)思維能力，同時養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).