一道解析幾何取值范圍題的探究

摘要：涉及圓的綜合應用問題，是近年高考中比較常見的一類基本考點.結合一道高考數學模擬題，合理挖掘題設條件與背景，借助不同思維視角的切入，多技巧方法應用，妙推廣歸納總結，多視角變式拓展，從不同層面探究破解問題的思路與綜合應用，以指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：圓；動點；平面向量；三角函數；排除

圓的綜合應用問題，是高中數學中的一個基本知識點，鏈接起初中平面幾何中的圓的圖形性質以及高中平面解析幾何中的圓的方程，從圓這一基本圖形自身的代數屬性或內涵的幾何特征等來合理創設，同時又交匯了平面向量、三角函數等模塊知識，巧妙吻合高考“在知識交匯點處”命題的基本指導精神，涵蓋了數形結合、函數與方程、三角函數等數學思想方法，涉及直觀想象、邏輯推理以及數學運算等核心素養，一直成為各級各類考試的必考內容和熱點內容之一.

1 問題呈現

此題以圓上的兩個動點為問題背景，利用兩動點的對應橫、縱坐標的乘積之和為定值來確定兩動點的相對位置，合理創設情境，進而確定兩動點的坐標之和的代數式所對應的取值范圍.

解決該問題時，可以借助題設條件以及問題的本質內涵，從三角函數思維、平面向量思維以及特殊思維等不同的數學思維方式切入，結合不同的技巧方法來分析與應用，實現綜合問題的突破與解決.

2 問題破解

2.1 三角函數思維

點評：根據題設條件確定兩向量之間的夾角是利用三角變換法解決問題的關鍵，而利用圓上的點的參數的引入與對應的坐標表示，進而運用三角恒等變換加以變形處理，通過單變量思維，結合三角函數的圖象與性質即可實現代數式的取值范圍的求解.

2.2 平面向量思維

點評：回歸平面解析幾何的“形”思維，借助平面向量的思維與應用來切入，或通過平面向量的和運算來轉化，或通過平面向量的中點性質來應用，都給問題的突破與求解提供條件.利用向量法思維分析與解決該問題，更加直接明了，處理起來也更加方便，同時也方便問題的進一步推廣與拓展.

2.3 特殊思維.

點評：根據題設條件確定兩向量之間的夾角，而通過特殊點的選取，利用代數式的取值情況進行巧妙排除，處理起來更加簡單快捷.特殊思維中，借助特殊元素的確定或選取，往往可以給選項的排除與確定提供條件，這也是解決單項選擇題中比較常用的一種“巧技妙法”.

3 推廣歸納

借助該結論，可以改變r2與λ的值，進而合理改編此問題，實現典型綜合問題的推廣與應用.

4 變式拓展

5 教學啟示

5.1 合理交匯，巧妙應用

基于圓的綜合應用問題，往往能巧妙融合“數”與“形”這兩種不同屬性與特征.在實際解題過程中，可以從“數”的視角切入進行數學運算，也可以從“形”的視角切入進行數形結合，還可以“數”“形”結合加以綜合應用.

5.2 動靜結合，落實“四基”

基于圓的綜合應用問題，往往合理滲透平面解析幾何場景中點與圓、直線與圓以及圓與圓等元素之間的“動”與“靜”的和諧統一，合理綜合數學基礎知識，巧妙應用數學基本能力，從而有效落實數學的“四基”，夯實數學的“四能”，使得學生的解題思維更加開闊，解題思路更加活躍，數學知識的掌握更加熟練，問題的破解更加快速有效.