齊次化方法在圓錐曲線中的應用舉例

摘要：對于圓錐曲線中一類斜率之和（或積）及直線過定點、定值問題，本文中從齊次化的角度出發，給出另一種聯立方式，再根據題型特點以實例說明齊次化方法在圓錐曲線中的靈活應用.

關鍵詞：圓錐曲線；齊次化；斜率之和；斜率之積；定點；定值

圓錐曲線中的定點、定值問題是高中平面解析幾何的重點和難點，也是高考考查的熱點.涉及平面內一點與圓錐曲線上兩動點連線的斜率之和（或積）的問題，用常規方法計算量大且復雜繁瑣，很多學生算到中途便無法進行下去.筆者通過示例構建齊次化方法的模型，簡化解題步驟，節省解題時間，為解決直線與圓錐曲線關系問題提供新的視角與思路.

1 圓錐曲線上一點與該曲線上兩點連線的斜率之和（或積）

評注：齊次化實際上是聯立圓錐曲線新方程與直線新方程，以關于x，y的二次形式呈現，其作用是獲得直線OM′，ON′斜率之和（或積）與直線M′N′方程系數的關系，平移回去后，得到直線AM，AN斜率之和（或積）與直線MN方程系數的關系.

2 非圓錐曲線上的點（異于坐標原點）與該圓錐曲線上兩點連線的斜率之和（或積）

3 兩斜率之和與積的巧妙聯用

評注：從本題的求解過程可以看到問題的轉化途徑.要求△APQ的面積，需求出直線PQ的方程，即P′Q′的方程，從而轉化為求該方程的系數m，n.而韋達定理建立了兩斜率之和與積關于m，n的兩個方程，這是求解問題的關鍵所在，充分體現了齊次化方法的強大作用.

4 涉及兩直線斜率之差

5 含多參的定值或定點問題

評注：對于含有多個參變量的定值或定點問題，常見思路是逐個消參，最后獲得定值或定點．必要時可采取“以退為進”的策略，即引入新的參變量，建立新參變量與原有參變量的等量關系，最后消掉新舊參變量．