古典概型的基本解題方法與解題模板

摘要：古典概型問題是概率中最常見的一類基本運算問題，有其自身的規律與解題方法.結合實例，就古典概型問題的基本解題方法進行合理歸納，創設思維導圖，總結解題模板，構建解題步驟，有效指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：古典概型；概率；列舉；計數

我們知道，解決古典概型問題的關鍵是分清基本事件總數n與事件A中包含的結果數m，而在實際解決問題中，可采用相關的解題方法加以應用.本文中結合實例，剖析古典概型問題的幾個常見基本解題方法，歸納解題模板，形成解題步驟，更好地指導學生解決古典概型的應用問題.

1 列舉法

2 計數原理法

利用排列組合及簡單的計數原理求解古典概型的概率問題時，根據題目條件在考慮問題時要一致，保證對所有的基本事件的計數與隨機事件A的基本事件的計數標準統一.

解題模板歸納：計數原理法就是將古典概型中基本事件的計數問題轉化為基本計數原理以及排列組合中的相關問題進行求解的方法，主要用來解決基本事件個數較多的情況.此種方法對于事件中涉及的元素個數較多的問題特別有效.一般的基本步驟如下：

（1）定型，即先根據條件確定概率的類型；

（2）轉化，即把古典概型的計算轉化為兩個計數問題；

（3）計數，根據條件利用基本計數原理，以及排列組合等相關知識來分析并求解基本事件數；

（4）求值，利用古典概型的概率公式即可求得結果.

3 求和法

應用求和法結合概率的加法公式來求解古典概型問題的前提有兩個：一是所求事件是幾個事件的和；二是這幾個事件是互斥的.互斥事件的判斷至關重要，同時互斥事件可以解決的問題比較廣，一般只要滿足A∩B=，就可以用互斥事件的性質加以解決.

4 正難則反法

事件A的對立事件A與集合的補集思維相對應，是正難則反數學思維的理論基礎.特別是碰到一些含有否定意義或含有“至多”“至少”等用語的復雜問題，以及一些直接求解比較復雜或根本無法解決的問題時，往往可以借助正難則反法來分析與處理.

解題模板歸納：正難則反法是解決數學問題的一種基本思維方式，在解決復雜的古典概型問題時也是非常適用與有效的.特別是古典概型問題中涉及“至少”、“至多”、否定或肯定等詞語的復雜問題，或正面求解分類較多與分類有困難等的復雜古典概型問題，經常可以采用正難則反法來化歸與轉化.其一般的基本步驟如下：

（1）定反，即根據原基本事件A，從反面視角來確定所求事件的對立事件A；

（2）求反，即根據問題實質，從事件本身或對立事件A的基本性質等層面來分析并求其對應的概率P（A）；

（3）作差，即利用對立事件的概率公式，確定所求基本事件A的概率，可得P（A）=1－P（A）.

在數學教學與學習過程中，有必要掌握一些求解古典概型問題的基本策略與技巧，掌握對應的方法及其相關的解題模板與解題步驟，可以更為簡單、快捷地解決問題.