一道抽象函數題的破解：直接賦值推理，特殊函數構建

摘要：以抽象函數為場景的多選題，是近年新高考數學試題中比較常見的一類基本考題.結合一道典型的數學模擬題，以多選題的形式，就抽象函數問題的直接法與特殊法等常見技巧方法來切入與應用，剖析解決問題的技巧與策略，發散數學思維，培養思維品質，合理變式拓展，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：抽象函數；多選題；直接；特殊函數；變式

抽象函數是一類不給出具體函數解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數模型.抽象函數問題，自身具有較強的抽象性，問題創設新穎，形式構思巧妙，考查條件隱蔽.而近年新高考涉及抽象函數的考題以多選題的形式出現，可以更加全面地考查相關函數的概念和性質，集函數的圖象與基本性質（涉及定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等）于一身，實現多個不同知識點之間的交匯與融合，是考查函數及其相關知識的良好載體.

1 問題呈現

此題以抽象函數為問題背景，借助抽象函數所滿足的關系式以及特殊函數值的加持來創設條件，進而判斷相應的函數值、函數的奇偶性、函數值之和以及關系式的確定等，考查函數的綜合知識與能力.

此類以多選題形式設置的抽象函數應用問題，整體難度不大，借助函數的基本模型，綜合函數的奇偶性、對稱性、函數求值等來切入與應用.常見的技巧方法往往包括兩大類：一類是直接法推理，通過賦值法來分析與判斷；二是特殊法構建，通過選取滿足條件的特殊函數（特殊的三角函數——余弦型函數）來具體化處理，利用特殊函數的構建，結合各選項的信息來分析與處理.

2 問題破解

點評：根據題設條件中抽象函數的遞推關系，合理通過賦值思維加以處理，直接根據題目提供的條件進行合理推導與判斷，利用相應的邏輯推理與數學運算逐一來確定各選項的真假情況，也這是解決此類問題的方法.直接法賦值與推理應用時，往往過程比較繁雜，要抓住題設條件與結論之間的聯系，合理構建并加以鏈接，綜合相應的邏輯推理與應用來處理.

點評：依托題設條件中抽象函數的結構特征，從特殊函數入手直接構建相應的三角函數模型——余弦型函數，結合條件的加持合理配湊對應的參數，實現函數的吻合性，進而處理就更加方便快捷.相比于賦值歸納法，特殊三角函數的構建與應用更加有效，更加具體化，由具體函數直接驗證選項，可以“一招破敵”.特別在考試中可以大膽嘗試.當然最好能嚴格證明一下，確保“嚴謹性”.

3 變式拓展

3.1 條件變換

3.2 結構變換

此問題也可以通過賦值歸納法來分析與應用，但處理起來比較繁雜，不過推理過程更加嚴謹科學，這里不多加以展開與敘述.

4 教學啟示

抽象函數是函數模塊知識中的一個重點與難點，涉及抽象函數及其應用問題在近三四年的新高考中都得以有效考查.而涉及抽象函數及其綜合應用問題，可以很好地區分學生的數學思維與數學知識.整體來說，此類問題對學生的代數變形能力，以及數學抽象、邏輯推理等方面的素養要求比較高.

此類問題的解決策略之一就是正確掌握科學賦值法，這是解決問題的一種通法；而借助特殊思維，將函數具體化這種方法是解決問題的一種“巧技妙法”，關鍵是要看關系式的結構和一些條件的加持，進而加以合理選取與特殊構建.