利用角平分線定理巧解與平面幾何相關的高中試題

平面幾何中的角平分線定理，是初中平面幾何知識中的一個重要基本定理，借助角平分線特征合理構建對應的線段之間的比例關系式，為解決高中數學中的解三角形、平面向量、圓錐曲線以及復數等相關問題指明方向，巧妙化歸，合理轉化，直觀形象，完美解決.

1 解決解三角形問題

在解三角形問題中，通過平面幾何圖形中的特征性質，利用幾何圖形中同鄰邊的角相等或對稱關系等，充分挖掘角平分線的性質與內涵，借助角平分線定理來構建關系式，為進一步綜合利用解三角形中的相關知識提供條件，開拓場景.

點評：解三角形問題的本質就是平面幾何的三角形問題的深入與升華，結合三角形中同鄰邊的角相等或對稱關系，利用角平分線定理合理構建相應的比例關系式，綜合解三角形的正弦定理、余弦定理等相關知識，實現利用角平分線定理巧妙化歸與轉化解三角形問題，創新應用.

2 解決平面向量問題

在平面向量問題中，通過平面幾何圖形中的特征性質，利用同鄰邊的角相等或對稱關系等，充分挖掘角平分線的性質與內涵，借助角平分線定理來構建關系式，為進一步綜合利用平面向量基本知識奠定條件.

點評：平面向量同時兼備“數”與“形”的雙重特征，結合平面向量的條件背景，通過三角形的平面幾何性質，特別是利用角平分線定理來合理構建線段長度的比例關系式，從而為進一步解決平面向量中的概念、模、運算、數量積等相關問題提供條件，為問題的解決拓展思維.

3 解決圓錐曲線問題

在圓錐曲線問題中，通過圓錐曲線圖形中的平面幾何特征性質，利用同鄰邊的角相等或對稱關系等，充分挖掘角平分線的性質與內涵，借助其構建關系，為進一步綜合利用圓錐曲線知識創造條件.

分析：根據圓錐曲線的背景條件確定平面幾何的相關性質，利用角平分線定理構建相應的關系式，進而將問題轉化為高次函數問題，結合函數求導，通過判定函數的單調性，以及函數的零點存在性定理的應用來綜合分析、處理.

點評：平面解析幾何中隱含有平面幾何的本質特征，通過角平分線定理中條件的挖掘以及定理的應用，合理溝通平面解析幾何與平面幾何之間的聯系，實現問題的轉化與解決.利用角平分線定理構建線段之間的比例關系式，對條件的挖掘與結論的求解更加直接有效，直觀形象，靈活巧妙.

借助平面幾何中的角平分線定理及其應用，對于解決高中數學中的一些相關問題有著非常重要、巧妙的應用.借助三角形的角平分線定理在解決相關問題，抓住問題內涵，回歸問題本質，數形直觀形象，合理化歸轉化，使得相關問題的解決更加直觀有效，思維更加巧妙靈活，全面養成數學思維品質，提升數學解題能力，培養數學核心素養.