高中數學建模核心素養的落地

當前課程改革和課堂教學進入核心素養引領的時代。一方面，數學建模搭建了數學與客觀世界的橋梁，是數學應用的重要形式，是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力，已成為數學學科六大核心素養之一，對于整體提升數學學科核心素養和中國學生發展核心素養具有支撐作用。另一方面，由于缺乏適用的教學素材和詳細的教學指導，教師普遍感覺在課堂中開展數學建模教學存在困難。課程是實現核心素養的核心，課堂教學是課程實施的主渠道，如何在數學課堂上由普通數學知識的教授過渡到學生數學建模核心素養的培養，需要我們持續探索。

一、基于教材創建高中數學建模課堂框架

我們基于人教B版各個數學模塊，梳理數學知識，在各個模塊數學應用的基礎上，設計相應的數學建模小案例，實現數學建模水平一到水平二能力培養的合理進階。本文以函數部分為例，給出從函數應用到函數建模的課程實踐（見圖1）。

二、梳理函數知識結構

在現實世界里，事物之間存在著廣泛的聯系，當面對的實際問題中存在幾個變量，并且它們之間具有依賴關系時，我們往往用函數對其進行刻畫。函數的表達可以使用列表、圖像，但高中階段最常見的還是使用解析式（見表1）。

教師引導學生借助軟件作常見的函數模型的圖像、復習函數的增減性等，引導學生關注函數定義域，給建模過程中用描點法協助尋找合適函數解析式打下基礎。

三、以函數應用題為載體，鞏固函數模型

考試中的函數應用題被劃分為階段一的建模培養，是學生最直接、最容易接受的“初級建模”問題。

1. 了解數學模型中的參數、結論的實際含義

了解熟悉的數學模型的實際背景及數學描述，了解數學模型中的參數、結論的實際含義，對于學過的數學模型，體會其蘊含的數學思想，是數學建模核心素養水平一的要求。

在實際問題中，聲音等級、地震等級、溶液酸堿度、星星亮度等級等經常用對數模型表示。對數是學生高中接觸的最難理解的函數之一。本文借助下面的題目讓學生充分理解對數型函數中自變量、函數的意義，感受對數函數關于自變量的增長量級。

案例1：人們通常以分貝（符號dB）為單位來表示聲音強度的等級，其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音。一般地，如果強度為x的聲音對應的等級為f（x）dB，則有f（x）=10lg 。

①樹葉沙沙響的聲音強度是10—12，計算它的聲音等級。

②計算出90dB的聲音與60dB的聲音強度之比。

教師借助案例1引導學生一遍有效讀題。在案例1中，聲音強度即x，聲音等級是f（x），將題目中的強度和等級直接替換為x，f（x），實際問題轉換為純對數函數問題，學生通過對數函數模型求解，最后將結果還原到實際問題中的強度和等級，解決實際問題。

2. 選擇合適數學模型解決數學問題

能夠在數學的情境中，發現問題并轉化為數學問題，選擇合適的數學模型表達要解決的數學問題，確定參數、建立模型、求解模型是數學建模核心素養水平二的要求。

（1）通過分析實際問題的意義，建立模型

在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型表示。

（2）通過分析圖像，分析函數模型

實際問題中的大部分函數無法直接寫出函數關系式，可以通過描點等方法作出函數圖像，所以，有些題目中直接給出函數圖像，學生就圖像分析問題，建立模型，得出結論。

（3）一題多解，模型選擇

讀懂題意，設變量，在題目中找等量關系，將變量代入等量關系列出解析式，按解析式函數性質、均值不等式等求解。在建立函數模型解決實際問題時，一定要注意自變量的取值范圍，尤其要注意實際背景帶來的取值范圍，如二次函數根據函數圖像的對稱軸與函數定義域的位置關系討論求解，最優解有時在對稱軸處取得，有時在區間端點處取得。

高一學生學完基本初等函數之后，在求最優解的數學模型中，除了二次函數，均值不等式模型也是常用模型之一。均值不等式求最值注意事項如下。

已知xgt;0，ygt;0，（“一正”），則

①若x+y=s[和為定值（“二定”）]，則當x=y（“三相等”）時，積xy取得最大值；

②若xy=p[積為定值（“二定”）]，則當x=y（“三相等”）時，和x+y取得最小值。

學生可以簡單記為：“一正、二定、三相等”。

（4）分段函數模型

很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數模型，如出租車的票價與路程的函數就是分段函數。分段函數在每個區間上依據題目變量之間的關系可以是一次型、反比例型、二次型、指對冪型等。

案例2：設某商品的利潤只由生產成本和銷售收入決定。生產成本C（單位：萬元）與生產量x（單位：千件）間的函數關系是C=3+x；銷售收入S（單位：萬元）與生產量x間的函數關系是

①把商品的利潤表示為生產量x的函數；

②為使商品的利潤最大化，應如何確定生產量？

解：①設商品的利潤Y（單位：萬元），依題意得

②當0 lt; x lt; 6時，

當且僅當時，即x=5時取等號，所以

當0 lt; x lt; 6時，Y有最大值6，

當x 6時，Y=11―x" 5.

綜上，當x=5時，Y取得最大值6，因此，當生產量為5千件時，商品的利潤取得最大值6萬元。

分段函數題型的解題規律與方法主要有：在求分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得出最大值、最小值。每個區間上的最值，可以用基本不等式法、導數法、函數的單調性等方法求得。

四、數學應用基礎上的數學建模

實際問題一直是數學發展的重要源泉，解決實際問題也是數學價值的重要體現。數學建模是對現實問題進行數學抽象，從現實生活中發現問題并提出問題，用數學語言分析問題并建立模型，用數學方法構建模型解決問題的過程，確定參數并計算求解，將結果帶入現實對象驗證結果并改進模型（見圖2）。

學生通過各種類型的函數應用題初步具備將實際問題分析抽象轉化為數學模型即建立數學模型的能力，初步具備了數學推演建模的能力，初步具備了將數學結果還原到實際問題中去檢驗、解釋實際問題的能力。數學建模與函數應用題最大的區別在于解決方法不唯一。它往往求不出問題的準確解，而是給出解決問題的可以不斷優化的方法，因而需要將數學結果帶回到實際問題中，驗證是不是符合現實對象的要求。

在培養數學建模能力的過程中，教師應密切關注學生的數學表達，包括文字語言、符號語言和圖形語言的表達。學生在處理數學問題時的有效表達會促進其對問題的深入思考，有效表達也可以作為深入思考的表現性證據。

數學建?；顒涌纱龠M數學知識的掌握與應用，讓學生感覺到數學的用途，真正地把數學用起來。案例能很好地融合提升傳統數學課堂知識能力，在我們的數學建模模式中，將建模案例歸類到第二階段的建模培養，能讓學生充分體驗數學建模的全過程，是學生從傳統數學課堂到數學建模過渡的重要途徑。做好數學應用的梳理、總結、提升，做好案例的開發，可以更好地實現核心素養下的高中數學建模的落地。

本文系北京市教育科學“十三五”規劃課題“新課程標準下高中數學課堂中的數學建模教學實踐探究”（課題批準號：CDCA2020109）研究成果。

（作者單位：1、2.北京市第三十五中學；3.北京市西城教育研修學院）

責任編輯：趙繼瑩