生態(tài)課堂視角下的對數(shù)函數(shù)與反函數(shù)教學(xué)

生態(tài)課堂是指課堂教學(xué)要做到“兩尊重、兩個度”.所謂兩尊重就是尊重知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，按照數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，要展示知識的發(fā)生、發(fā)展過程，同時尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)學(xué)生的實際水平選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容.所謂兩個度就是課堂教學(xué)要有思想（哲學(xué)或數(shù)學(xué)）高度和文化高度.

1 從“兩個尊重”角度看教學(xué)內(nèi)容調(diào)整

現(xiàn)行人教A版教材必修第一冊4.4節(jié)有3段內(nèi)容，分別是第1段（4.4.1）對數(shù)函數(shù)、第2段（4.4.2）對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)和第3段（4.4.3）不同函數(shù)增長的差異，其中第1段與第3段內(nèi)容較少，對于重點中學(xué)來說作為一節(jié)課內(nèi)容不是很充實，而第2段內(nèi)容較多，在講完對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)之后，要在一節(jié)課再講反函數(shù)時間不允許，同時在知識上銜接不緊密.由于第1段中出現(xiàn)了y=ax和x=logay這一對互為反函數(shù)的具體函數(shù)，因而只要在此基礎(chǔ)上加以抽象（落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)），反函數(shù)的概念就呼之欲出.

教材中第1段中的例2本質(zhì)是函數(shù)增長快慢問題，與第2段內(nèi)容緊密相連，因此把第1段例2放在第3段，把第2段的反函數(shù)的概念提前到第1段講授，既符合數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.至于第1段的例2，可能有為第3段作鋪墊之意，體現(xiàn)“螺旋式上升”.其實，對于高中學(xué)生，尤其是重點中學(xué)的學(xué)生而言，在這些知識的理解上不存在過不去的坎，無需鋪墊.

2 從“思想高度”看反函數(shù)的引入

哲學(xué)思想對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的指導(dǎo)是隱形的，既不顯山露水，又無處不在.從本課的教學(xué)環(huán)節(jié)可以看出一個特點是從特殊到一般：由教材中前一節(jié)具體問題引入對數(shù)函數(shù)，一般化得到y(tǒng)=a^x和x=log^ay，這兩個等式從方程角度看是同解，但從函數(shù)角度看對應(yīng)關(guān)系是相反的；把x=log_ay中x，y對調(diào)得到對數(shù)函數(shù)y=log_ax（如圖1），這二者對應(yīng)關(guān)系相同，只是自變量和因變量使用的字母不同而已，如果在同一直角坐標(biāo)系中分別以y軸和x軸為自變量軸畫出x=log_ay和y=log_ax的圖象，會發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于直線y=x對稱，由此可知函數(shù)y=a^x和y=log_ax的圖象關(guān)于直線y=x對稱（如圖2）.

3 課堂教學(xué)中的亮點

作對數(shù)函數(shù)的圖象一般方法是列表描點，在本課中耿老師采用“不列表描點法”和翻折法畫對數(shù)函數(shù)圖象.所謂“不列表描點法”還是要描點，點從哪里來？從指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的互反關(guān)系中來，這一過程既找到了對數(shù)函數(shù)圖象上的點，又加深了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的理解，一舉兩得.然后又指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)案（學(xué)案中有y=2^x的圖象，學(xué)案紙質(zhì)相對透明）翻到背面，問學(xué)生怎么由y=2^x的圖象得到x=log₂y的圖象，就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)（部分學(xué)生需要指導(dǎo)才能發(fā)現(xiàn)）從原圖的背面，把y軸正向向右水平放置，x軸正向向上豎直放置就得到x=log₂y的“圖象”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)只要沿直線y=x折疊就可得到y(tǒng)=log2x的圖象，從而猜想（或發(fā)現(xiàn)）互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

這一過程可謂絕妙！學(xué)生在這樣的發(fā)現(xiàn)過程中不僅學(xué)到了知識、培養(yǎng)了能力，更體會到了“換個角度看世界”的另一番景象，這是一種無痕的育人.當(dāng)然描點畫圖作為基本方法還是必要的，不要顧此失彼.還有在學(xué)生回答y=x²沒有反函數(shù)，但是限制在單調(diào)區(qū)間就有反函數(shù)后，耿老師說“對，沒有條件就創(chuàng)造條件”，短短一句話，濃濃育人情！

反函數(shù)這個名稱是怎么來的？就是這對函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是互反的，先通過圖1給出初步印象，在圖3中給出明確說明，由此可知，數(shù)學(xué)名稱還是“有一定道理”的，比說這是“規(guī)定”顯得有文化.

本課教學(xué)中給學(xué)生留足時間讓其思考、練習(xí)、作答，并對學(xué)生的練習(xí)和作答情況及時評價，體現(xiàn)“教學(xué)評”一體化思想.

小結(jié)中一首小詩不僅總結(jié)了這節(jié)課的知識、技能與方法，加深了學(xué)生對所學(xué)知識的本質(zhì)理解，立素養(yǎng)之意！更能讓學(xué)生感受到語言文字的力量，理性思維與感性思維碰撞，提升數(shù)學(xué)課堂文化氛圍，享數(shù)學(xué)之樂！同時，結(jié)合圖象的對稱性，以及原函數(shù)與反函數(shù)和諧共生、辯證依存關(guān)系，悟數(shù)學(xué)之美！

4 改進(jìn)建議

在引入階段，為了說明x=logay是函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)的“三要素”，用時有點長.因為函數(shù)y=ax是單調(diào)函數(shù)，一個y對應(yīng)唯一的x，學(xué)生理解起來沒有困難.

小結(jié)還可以更全面一些.一節(jié)課的小結(jié)不僅要有知識、技能，還要有育人層面，比如原函數(shù)與反函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是互逆的，把函數(shù)y=2^x圖象“翻過來”可以得到x=log₂y的圖象，這是從一個問題的對立面或側(cè)面去看問題，啟發(fā)我們在日常學(xué)習(xí)中不僅要正向思考，有時要逆向思考，看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)，類比到生活中就是不僅要從正面看問題，有時還要從反面或不同的角度看問題，往往會另辟蹊徑，別有洞天.

在學(xué)生回答問題時，如果不需要板書的話，老師可以親切地看著學(xué)生，學(xué)生會感受到來自老師的信任和期待，會更加自信.

男老師上課要有陽剛之氣，聲音洪亮，耿老師還要努力！作為985院校數(shù)學(xué)專業(yè)的高材生，專業(yè)功底好，從教3年多就能上這樣好的課，值得點贊，未來可期！