對一道全國高中數學聯賽預賽題的研究

摘要：涉及函數的性質與應用問題，一直是高考與聯賽的一個基本考點，結合一道聯賽有關函數的值域求解問題，從不同思維角度切入，利用不同的技巧方法破解，在此基礎上加以變式與拓展，總結規律，引領并指導解題研究.

關鍵詞：函數；值域；三角換元；基本不等式；導數

函數是貫穿高中數學的一條主線與靈魂，滲透于高中數學基本知識的角角落落，是歷年高考與聯賽數學試卷中的基本點之一，變化多端，形式各樣.破解此類函數問題，關鍵是正確把握函數的基本概念以及自身性質，結合函數的解析式、基本性質等，分析、理解、思考、研究、應用并總結函數問題，形成并強化高效的數學解題思維，有效應用所學的數學基本知識、數學思想方法和數學能力等，多層面結合來解決相應的函數問題.

1 試題呈現

2 賽題剖析

此聯賽試題，以高次分式函數解析式為背景創設函數問題，結合函數的值域的求解來設置，題目簡單明了，言簡意賅.題目場景熟知，只是函數解析式比較復雜新穎，無法直接利用比較熟悉的基本初等函數的圖象與性質，而是將相關知識相互融合滲透，關鍵考查函數的解析式、基本性質、值域等相關知識.

破解此類復雜函數的值域問題，關鍵是挖掘函數解析式中所蘊含的本質屬性，確定函數的基本性質以及最值問題，從復雜的函數解析式這一已知條件出發，結合解析式的特征，或三角換元處理，或基本不等式應用，或導數法破解等，都可以達到非常好的解題效果，巧妙有效.

3 試題破解

點評：結合題目條件，通過三角換元轉化，結合三角恒等式的變形，借助萬能公式、二倍角公式，以及三角函數的圖象與性質，進而確定對應函數的值域.三角換元處理是破解一些函數值域或代數式最值等相關問題中比較常用的技巧方法，關鍵是合理三角換元，巧妙恒等變換.

點評：結合函數解析式的絕對值處理，通過代數式的拆分，利用基本不等式加以放縮與應用，結合含有絕對值的不等式的求解，進而確定對應函數的值域.基本不等式法是在處理絕對值與拆分代數式的基礎上進行合理放縮的技巧，為最值的求解提供依據，也是破解一些涉及函數、代數式等最值問題或取值范圍問題中比較常用的一種方法技巧.

點評：導數法是解決函數最值、值域等相關問題中最常用的一種技巧方法，也是破解函數問題的一種基本方法.通過求導處理，結合導函數的正負取值情況確定函數的單調性，進而確定在對應區間上的最大值與最小值，即可確定函數的最值、值域等相關問題.導數法處理函數問題，往往是函數問題的最后一道防線，只是有時運算量比較大，過程比較繁雜.

4 變式拓展

探究1：保留函數背景，結合函數解析式的特征，通過對原來函數的解析式進行取絕對值處理，同樣求解對應函數的值域，得到以下相應的變式問題.考查的知識點保持一致，難度與原題基本相當.

5 教學啟示

（1）敢于嘗試，方法歸納

涉及函數的最值問題、代數式的最值問題以及相應的值域問題等，要敢于嘗試，借助函數解析式、代數式的代數運算與變形，結合通分、因式分解、配湊、平方、配方、構造等運算手段加以輔助處理，通過特殊函數（以基本初等函數類型為主）的圖象與性質、基本不等式或柯西不等式、三角換元以及三角函數的圖象與性質、導數方法等對應的數學工具知識來分析與處理，全面促進數學知識的交匯融合、理解掌握.

（2）抓住本質，優選策略

在破解函數的相關問題中，要充分合理把握函數自身的概念與本質屬性，從函數概念、解析式、基本性質、方法梳理、數學運算等思維角度切入，有效培養、形成、發展和拓展解題思維，形成正確分析問題、處理問題與解決問題的能力，分析比較不同的問題背景與解題的技巧方法，有效選擇，快速解題，提高解題效率，提升數學能力，形成良好數學品質，培養數學核心素養.