一道最值題的破解

近年的高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常涉及“雙變元”或“雙參”的相關(guān)問題，此類問題主要涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等模塊知識，能力要求高，綜合性強(qiáng)，難度較大，往往以壓軸題的形式呈現(xiàn).

而涉及雙變元代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，是其中比較常見的一類考查方式，借助雙變元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，或消參處理，或齊次化處理，或換元處理等，都是解決此類問題中比較常用的技巧方法，成為破解問題的關(guān)鍵.

1 問題呈現(xiàn)

此題題目簡捷明了，以兩個正數(shù)變量為背景，利用雙變元之和為定值1，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)求解對應(yīng)的分式代數(shù)式的最值問題.

解題時，關(guān)鍵是從雙變量以及題設(shè)條件入手，合理通過消參處理、齊次化處理或換元思維，將雙變元問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進(jìn)而利用相應(yīng)的技巧方法來分析與解決，實(shí)現(xiàn)部分的突破與求解.

2 問題破解

2.1 消參思維

點(diǎn)評：對于雙變元的代數(shù)式問題，合理的消元處理就是一個關(guān)鍵的步驟.而在消參變化后，其中利用基本不等式的放縮思維來解決代數(shù)式的最值問題，是解決此類問題中最為常見的一種基本技巧方法，其基本思路就是合理配湊關(guān)系式，使之吻合利用基本不等式的條件.另一種基本思路就是通過構(gòu)建函數(shù)，借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合法來處理與應(yīng)用.

2.2 齊次化思維

根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用齊次化思維來恒等變形，借助比值換元，化雙變元代數(shù)式為單變量問題，進(jìn)而利用單變量問題的基本解題方法來分析與處理.

解法5：判別式法2.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)中雙變元之和為定值，利用分式代數(shù)式的齊次化處理，給代數(shù)式的最值問題求解提供更加寬廣的空間.齊次化處理后，依托單變量代數(shù)式的結(jié)果，可以通過整體思維轉(zhuǎn)化為方程問題，利用判別式法來轉(zhuǎn)化，借助不等式的求解來確定；也可以通過合理的配湊與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來放縮，實(shí)現(xiàn)代數(shù)式最值的求解；而導(dǎo)數(shù)法也為問題的解決提供另一種思路.

2.3 換元思維

借助題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的等差中項(xiàng)性質(zhì)，合理進(jìn)行換元處理，化雙變元代數(shù)式為單變量問題，進(jìn)而利用單變量問題的基本解題方法來分析與處理.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)中雙變元之和為定值，借助等差數(shù)列的等差中項(xiàng)引入?yún)?shù)進(jìn)行換元處理，進(jìn)而構(gòu)建對應(yīng)的單變量問題，為進(jìn)一步解決問題奠定條件.而對于單變量問題的最值問題，除了以上的方程的判別式法外，還可以通過基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法等來分析與處理，實(shí)現(xiàn)問題的分析與求解.

3 教學(xué)啟示

涉及“雙變元”或“雙參”的代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，問題的設(shè)置形式多樣，聯(lián)系的知識面廣，數(shù)學(xué)思維的層面可以考慮從消參、齊次化、換元、同構(gòu)等方式入手，進(jìn)而結(jié)合基本不等式法、方程的判別式法、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)法、三角換元法等來解決，很好融合函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，有效進(jìn)行知識的交匯、方法的融合，成為高考命題的一個基本方向與趨勢.

此類問題難度往往都比較大，數(shù)學(xué)思維要求高，解決技巧方法多種多樣，基于數(shù)學(xué)“四基”的有效落實(shí)，很好地考查考生的“四能”情況，給考生提供更多的機(jī)會與展示空間，有利于考生的選拔與區(qū)分，以及培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與開拓性，全面開拓學(xué)生的視野，提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).