一道最值題的破解

近年的高考數學試題中經常涉及“雙變元”或“雙參”的相關問題，此類問題主要涉及函數與導數、不等式等模塊知識，能力要求高，綜合性強，難度較大，往往以壓軸題的形式呈現.

而涉及雙變元代數式的最值（或取值范圍）問題，是其中比較常見的一類考查方式，借助雙變元代數式的結構特征，或消參處理，或齊次化處理，或換元處理等，都是解決此類問題中比較常用的技巧方法，成為破解問題的關鍵.

1 問題呈現

此題題目簡捷明了，以兩個正數變量為背景，利用雙變元之和為定值1，進而創設求解對應的分式代數式的最值問題.

解題時，關鍵是從雙變量以及題設條件入手，合理通過消參處理、齊次化處理或換元思維，將雙變元問題轉化為單變量問題，進而利用相應的技巧方法來分析與解決，實現部分的突破與求解.

2 問題破解

2.1 消參思維

點評：對于雙變元的代數式問題，合理的消元處理就是一個關鍵的步驟.而在消參變化后，其中利用基本不等式的放縮思維來解決代數式的最值問題，是解決此類問題中最為常見的一種基本技巧方法，其基本思路就是合理配湊關系式，使之吻合利用基本不等式的條件.另一種基本思路就是通過構建函數，借助函數與導數的綜合法來處理與應用.

2.2 齊次化思維

根據題設條件，運用齊次化思維來恒等變形，借助比值換元，化雙變元代數式為單變量問題，進而利用單變量問題的基本解題方法來分析與處理.

解法5：判別式法2.

點評：根據題設中雙變元之和為定值，利用分式代數式的齊次化處理，給代數式的最值問題求解提供更加寬廣的空間.齊次化處理后，依托單變量代數式的結果，可以通過整體思維轉化為方程問題，利用判別式法來轉化，借助不等式的求解來確定；也可以通過合理的配湊與轉化，利用基本不等式來放縮，實現代數式最值的求解；而導數法也為問題的解決提供另一種思路.

2.3 換元思維

借助題設條件，結合等差數列的等差中項性質，合理進行換元處理，化雙變元代數式為單變量問題，進而利用單變量問題的基本解題方法來分析與處理.

點評：根據題設中雙變元之和為定值，借助等差數列的等差中項引入參數進行換元處理，進而構建對應的單變量問題，為進一步解決問題奠定條件.而對于單變量問題的最值問題，除了以上的方程的判別式法外，還可以通過基本不等式法、導數法等來分析與處理，實現問題的分析與求解.

3 教學啟示

涉及“雙變元”或“雙參”的代數式的最值（或取值范圍）問題，問題的設置形式多樣，聯系的知識面廣，數學思維的層面可以考慮從消參、齊次化、換元、同構等方式入手，進而結合基本不等式法、方程的判別式法、函數與導數法、三角換元法等來解決，很好融合函數與方程、函數與導數、不等式、三角函數等相關的數學知識，有效進行知識的交匯、方法的融合，成為高考命題的一個基本方向與趨勢.

此類問題難度往往都比較大，數學思維要求高，解決技巧方法多種多樣，基于數學“四基”的有效落實，很好地考查考生的“四能”情況，給考生提供更多的機會與展示空間，有利于考生的選拔與區分，以及培養學生思維的發散性與開拓性，全面開拓學生的視野，提升數學能力與數學品質，培養學生的核心素養.