關(guān)于新舊教材分層隨機(jī)抽樣方差問題的對(duì)比研究

摘要：對(duì)比新舊教材，合理挖掘高中數(shù)學(xué)教材中的例（習(xí)）題，追根溯源，拓廣探索，是新高考模式下數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中必須高度重視的一個(gè)環(huán)節(jié).結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的例（習(xí)）題，抽象歸納總結(jié)分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)與方差公式，會(huì)熟練應(yīng)用相應(yīng)的公式加以數(shù)據(jù)計(jì)算與問題求解，探究公式的本質(zhì)，歸納總結(jié)規(guī)律，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：分層隨機(jī)抽樣；樣本；平均數(shù)；方差；數(shù)據(jù)處理

分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)與方差，是高中數(shù)學(xué)新教材（2019年人教A版）的相關(guān)例題、習(xí)題中給出的具體問題應(yīng)用或公式證明，這是第一次在教材中明確提及相應(yīng)的公式，也是舊人教A版教材中所沒有直接涉及的一個(gè)基本內(nèi)容.新教材中增加了分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)與方差，為深入分析與研究分層隨機(jī)抽樣，以及抽樣中的數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)決策等提供更為簡(jiǎn)捷方便的公式應(yīng)用.

1 新教材的新增內(nèi)容

人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過的《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）第九章“統(tǒng)計(jì)”中，在“9.1隨機(jī)抽樣”與“9.2用樣本估計(jì)總體”對(duì)分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)及方差作了

相關(guān)的介紹，結(jié)合例題與相關(guān)的習(xí)題加以敘述與應(yīng)用.

在解決分層隨機(jī)抽樣下的方差及其計(jì)算問題時(shí)，可以直接回歸樣本方差的定義公式s2=1n∑ni=1（xi－x）2加以推理與計(jì)算，但若涉及各層中的個(gè)體數(shù)量與對(duì)應(yīng)的平均數(shù)、方差等問題時(shí)，這樣計(jì)算就比較繁雜，推理過程比較復(fù)雜.

1.1 層數(shù)為2層的分層隨機(jī)抽樣的方差公式

該公式源于人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過的《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）第九章“統(tǒng)計(jì)”中“9.2用樣本估計(jì)總體”第212頁(yè)例6的抽象歸納以及公式化處理.

1.2 層數(shù)為3層的分層隨機(jī)抽樣的方差公式

該公式源于同上的教材習(xí)題9.2第216頁(yè)“拓廣探索”欄目中的第11題的證明問題.

一般數(shù)學(xué)問題中涉及到分層隨機(jī)抽樣的層數(shù)為2層或3層，具體更高的層數(shù)問題，可以類比以上對(duì)應(yīng)的公式加以拓展與應(yīng)用.

2 新增內(nèi)容的考查點(diǎn)

2.1 層數(shù)為2層的分層隨機(jī)抽樣的方差問題

例1 〔2022-2023學(xué)年貴州省貴陽(yáng)市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷〕某校采用比例分配分層隨機(jī)抽樣采集了高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1：

則估計(jì)該校高一年級(jí)的全體學(xué)生的身高平均數(shù)為_____，方差為_______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，先利用層數(shù)為2層的分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)公式來計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均數(shù)，再進(jìn)一步利用分層隨機(jī)抽樣的樣本方差公式來計(jì)算對(duì)應(yīng)的方差即可.

點(diǎn)評(píng)：正確獲取題目中圖表的數(shù)據(jù)信息，是解決統(tǒng)計(jì)問題的基礎(chǔ)所在.而根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的層數(shù)，以及相應(yīng)的分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)公式、樣本方差公式等，對(duì)標(biāo)題目所求來正確分析與巧妙計(jì)算，為數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理奠定基礎(chǔ).

2.2 層數(shù)為3層的分層隨機(jī)抽樣的方差問題

例2 〔2023年浙江省重點(diǎn)中學(xué)拔尖學(xué)生培養(yǎng)聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（6月份）〕某高中為調(diào)查學(xué)生每天學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣來進(jìn)行調(diào)查.若抽取高一學(xué)生的人數(shù)為400人，他們每天學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8小時(shí)，方差為0.5；抽取高二學(xué)生的人數(shù)為600人，他們每天學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為9小時(shí)，方差為0.8；抽取高三學(xué)生的人數(shù)為1 000人，他們每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，合理估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（ ）.

A.1.25 B.1.35 C.1.45 D.1.55

分析：根據(jù)題設(shè)條件，先確定抽取的總?cè)藬?shù)，并確定高一、高二、高三學(xué)生所抽取的人數(shù)的頻率，進(jìn)而利用層數(shù)為3層的分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值公式與樣本方差公式分別計(jì)算求解對(duì)應(yīng)的平均值與方差，進(jìn)而作出正確判定.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些復(fù)雜的分層隨機(jī)抽樣問題時(shí)，首先要正確確定分層隨機(jī)抽樣的層數(shù)，以及與之相關(guān)的基本概念（樣本總數(shù)、各層的樣本數(shù)或頻率等），進(jìn)而熟練利用分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值、樣本方差公式加以推理與運(yùn)算，并結(jié)合實(shí)際問題的應(yīng)用場(chǎng)景與現(xiàn)實(shí)實(shí)際來合理判斷與決策等.

2.3 綜合場(chǎng)景下分層隨機(jī)抽樣的方差問題

例3 〔2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)寧市高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷〕（多選題）某學(xué)校高一年級(jí)的男生有500人，女生有400人，現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法來獲得該校高一年級(jí)學(xué)生的身高信息.若抽取了一個(gè)容量為180的樣本，經(jīng)計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為19，女生樣本的均值為161，方差為28，則下列說法中正確的是（ ）.

A.男生樣本容量為100

B.抽取的樣本的均值為165.5

C.抽取的樣本的均值為166

D.抽取的樣本的方差為43

分析：根據(jù)題設(shè)條件，借助分層隨機(jī)抽樣來設(shè)置一個(gè)2層的抽樣方法，根據(jù)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的概念來確定男生的樣本容量，并利用分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值公式來計(jì)算對(duì)應(yīng)的樣本均值，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用分層隨機(jī)抽樣的樣本方差公式來計(jì)算對(duì)應(yīng)的樣本方差.

點(diǎn)評(píng)：該題以多選題的形式呈現(xiàn)，以實(shí)際應(yīng)用問題為統(tǒng)計(jì)場(chǎng)景，巧妙利用分層隨機(jī)抽樣的場(chǎng)景設(shè)置以及對(duì)應(yīng)的定義、公式的應(yīng)用，特別是抓住分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值、樣本方差及其對(duì)應(yīng)的公式加以合理應(yīng)用與巧妙運(yùn)算，通過定義、公式的計(jì)算來作出正確判斷，實(shí)現(xiàn)綜合應(yīng)用問題的解決.

其實(shí)，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)與方差在新教材中加以具體介紹，而有關(guān)分層隨機(jī)抽樣的方差及其綜合應(yīng)用問題，是在樣本平均數(shù)的基礎(chǔ)上加以深入與分析，二者相伴同行.同時(shí)，在實(shí)際學(xué)習(xí)與解題過程中，要注意正確理解分層隨機(jī)抽樣的基本概念的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，并能理解并掌握層數(shù)為2層或3層的分層隨機(jī)抽樣問題中的樣本平均數(shù)與方差的公式，能熟練利用相應(yīng)的公式加以解題與應(yīng)用，并用來解決一些統(tǒng)計(jì)中相關(guān)的數(shù)據(jù)分析與決策判斷等問題.