三角函數綜合問題解題策略分析與反思

摘要：近年來，以三角函數為背景的導數綜合題是高考命題的亮點之一，可謂常考常新．本文中通過對典型試題進行解法探究，揭示本質，形成解題策略．

關鍵詞：三角函數;導數；解題反思；策略分析

以三角函數為背景的導數綜合題是近幾年高考命題的一大亮點，它不僅豐富了高中數學教學的素材，有效引導教學，而且體現了高考在核心價值引領下對知識的交叉、能力的復合、素養的融合的全方位考查．由于考題中常含有三角函數與其他函數的綜合，以至于問題的后續處理困難較多，但三角函數具有周期性、有界性等顯著的性質，使問題解決又豐富多樣，有益于問題考查的寬度和深度，這也必將會成為以后高考試題命制的生長點，因此，有必要對以三角函數為背景的導數綜合題進行策略分析，以期提高教學有效性，發展學生關鍵能力．

1 策略分析

以三角函數為背景的導數題，注重考查學生利用導數工具分析問題、解決問題、推理論證、運算求解等能力，以及分類討論、轉化與化歸、數形結合等數學思想，對思維的靈活性、嚴謹性、創新性提出了較高的要求，符合“四翼”中綜合性、創新性的考查要求．其求解策略和方法歸納如下：

策略一 利用構造新函數求解

根據函數與導數的思維特征，當面臨一個難以求解的函數問題時，其中一個行之有效的方法就是構造一個輔助函數，分析函數解析式的結構，利用導數研究函數的圖象與性質（定義域、單調性、最值、極值、零點等），體會其中蘊含的函數與方程、數形結合、轉化與化歸等數學思想．

策略二 利用正余弦函數有界性求解

有界性是正余弦函數的主要性質之一．在處理以三角函數為背景的導數題時，除了運用參變量分離、分類討論等方法外，還需結合三角函數的有界性求解，可以快速找到討論的“分界點”，有效突破解題困境，使問題得以順利解決．

點評：利用分類討論分析和求解問題，關鍵是要準確找到討論的分界點，本題第（2）（3）問都是根據正余弦函數的有界性找到了討論的分界點，突破了難點．過程中還結合不等式|a＋b|≤|a|＋|b|將等式進行了合理放縮，體現了高考在知識交匯處命題的思想［1］.

策略三 利用必要性探路求解

在處理含參數不等式恒成立問題時，大多時候會優先考慮參數與變量分離并構造函數，但往往解題受阻，那么也可以換個視角思考，先利用必要條件探路，再驗證其充分性，這就是必要性探路解題的思想．利用必要性探路解題不僅能夠簡化思維程序，而且也能為難點的突破提供一種很好的解題思路．

點評：第（2）問巧妙地應用“必要性探路”的方法求解，在一定程度上優化了解題路徑．當然在解決問題的過程中，仍然要密切關注正余弦函數的有界性．

策略四 利用設而不求法求解

在數學解題中，有時需要設立題目中沒有直接給出的中間變量，從而構建“未知”和“已知”的關系，為問題的解決起到紐帶的作用，這就是“設而不求”的數學思想.函數“隱零點”是近幾年高考的熱點也是難點，對于與三角結合的導數題，“設而不求”將是處理這類問題的一個較好的策略．即通過形式上的虛設，實現運算上代換、策略上等價轉化、方法上引導分類等，從而達到優化解題的目的．

點評：第（2）問中既有指數、對數形式，又有三角形式，讓學生望而生畏．運用前后聯系的觀點審視問題，第（1）問中，當a＝1時，可證f（x）≥0在（－1，＋∞）上恒成立（當且僅當x＝0時，f（x）＝0），那么第（2）問中對參數a的分類討論應有分界點a＝1，這將對討論帶來啟發．對于零點不可求問題，可以虛設零點得到一個含零點的超越方程，通過變形實現部分代換或整體代換，將超越式變成非超越式，從而簡化運算．

2 策略反思

以正余弦函數與指對數函數的復合形式為背景考查不等式的證明、不等式恒成立求參數的值或范圍，此類問題在高考中常考常新．問題解決過程中常需要構造新函數、運用必要條件探路、結合正余弦函數的有界性、設而不求隱零點等多種方法的綜合運用．

2.2 釋疑解惑

通過對以三角函數為背景的導數綜合題解題策略的分析與反思，梳理發現高考導數壓軸題越來越重視“四翼”的考查，突出數學問題本質的回歸，試題立意高但不“冷”，落點低但不“俗”．同時具有“反套路”的味道，突出關鍵能力的考查，區分度高，實現“以考促教、以考促學”的目的［2］，對高校人才選拔和高中數學教與學的改革起到積極的引導作用．因此，加強對典型試題解題規律的研究是十分必要的．

參考文獻：

[1]藍云波．與三角函數交匯的導數壓軸題的解法探究[J]．中學數學研究（華南師范大學版），2019（1）：20-23.

[2]教育部考試中心．中國高考評價體系[M]．北京：人民教育出版社，2019：12．