數學核心概念的教育價值、結構體系和實施策略

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標），要求在課程內容結構化、突出主線的指導下，引導學生把握數學內容的本質，發展學生數學核心素養[1].而數學概念高度凝結著數學家數學地認識事物的思維，更是深刻地揭示了數學的本質.因此，強調概念教學，特別是要強調核心概念的教學，是發展學生核心素養的重要途徑之一.

1 數學核心概念

1.1 數學概念

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具.

1.2 數學核心概念

中學數學中概念非常多，有的概念是主干，有的概念是枝干.在這里，在全局整體的視野下把處于數學核心位置，能揭示數學本質，并能統整許多相關概念、原理或方法的概念，稱之為數學核心概念.

1.3 數學核心概念確定標準

如何確定某一數學概念是否具有核心地位？結合已有的相關研究[2]，確定三個標準：

（1）該概念具有豐富的意義，是認知的根源，是學生認知結構中重要的不可或缺的基礎，簡稱基礎性；

（2）該概念在數學內部具有廣泛的聯系，是學生認知結構中的關鍵節點，簡稱關鍵性；

（3）該概念能在不同的學段進行教學，使學生知識及能力水平螺旋上升，簡稱進階性.

2 核心概念與核心素養的關系及結構

2.1 關系

2.1.1 核心概念的認知是落實核心素養的目標實現

新課標強調突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法[1].數學核心概念恰好是這一理念實踐的良好載體，它不僅自身蘊含有無限的知識價值，而且具有改變和優化學生認知結構的認知價值，更具有促成學生形成學科觀念，“三會”對待世界的教育價值.

2.1.2 核心概念的結構是落實核心素養的內容載體

核心概念必然與其他諸多知識建立了千絲萬縷的聯系，由此派生出一個核心概念的結構體系.由于個體差異、學習階段不同，不同的學生具有不同的認知水平，對核心概念結構體系的認識水平也就不同.由此可以說，數學核心概念結構體系是一個與學生思維發展水平相符合，呈螺旋遞進關系且具有連貫性和一致性的結構，是人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展的內容載體.

2.1.3 核心概念的學習是落實核心素養的過程途徑

數學核心概念的學習是抽象建構的過程，學生通過豐富的情境素材，親自參與實踐操作活動，逐步觸及知識本質，經歷思維的內化整合過程，水到渠成地抽象概括形成概念，乃至實現概念精致化的過程.在這個學習過程中存在一個關鍵時刻，學生將會對數學核心概念的認知和數學核心概念的結構完美地合二為一，促成對知識的深度理解，并能無障礙地去遷移觀察、思考和表達，這就凝練升華為數學核心素養.

2.2 結構

林恩·埃里克森與洛伊斯·蘭寧提出了“知識—過程”互為共生的知識的結構和過程的結構[3].受此啟發，基于以上對數學核心概念與落實數學核心素養關系的理解，我們將二者的目標、內容、過程用圖1來表示.

3 數學核心概念的解構與建構

3.1 解構數學核心概念是理解數學的起點

解構概念的關鍵是找出概念的核心以及概念之間連接的紐帶.我們以宏觀的視角厘清核心概念的外部結構，以微觀的視角厘清核心概念的內部結構.其結構模式如圖2.

3.1.1 概念的內涵與外延

概念的內涵是概念的本質屬性的全體，是概念的核心.概念的外延是概念所涉及對象的范圍界限.只有將二者結合起來，相互補充才能達到對概念的全面理解.

3.1.2 概念蘊含的思想方法

數學概念高度凝結著數學家的思維，自然蘊含著豐富的思想方法.比如，一個概念的符號表達就是數學抽象的結晶，更是符號化思想的體現.因此，學生在概念的學習過程中，經歷對比、分析、綜合、抽象與概括等一系列邏輯推理和思維活動，我們要關注最核心的思想方法.比如“向量”概念蘊含的數形結合思想便是核心.

3.1.3 概念的發展歷史

研究概念的發展歷史，歷史揭示了前人的困惑、困難、障礙及突破，有助于對概念本身的理解，有助于梳理與其他知識之間的聯系及作用，進而明確其地位與作用.研究概念發展歷史還有利于設計符合學生認知規律的活動，讓學生體驗失敗—失敗—成功的研究過程，滲透困難十之八九，攻堅克難始終如一的教育價值.

3.1.4 概念間的聯系

數學知識呈現橫看有層次、縱觀有梯度的結構，因此我們必須多視角、多層次、多維度分析核心概念與相關知識的聯系，幫助學生完善數學認知結構.通常從概念的外延出發，著眼于各種聯系.聯系越多，通道越豐富，對概念的理解越深刻，對概念的認識越全面，從而構建起核心概念的結構體系，擁有廣闊的視野和開闊的思路.

3.2 分析學生認知基礎是理解數學的支點

全面了解學生已有的數學知識、經驗、思想方法和數學能力，弄清與將要學習內容的關系，尋找思維起點，發現思維斷點，沖破思維阻點，給學生搭建充分的臺階，設計發展能力的教學活動，保障思維的連貫與暢通.

3.3 建構數學核心概念是理解數學的終點

解構概念與分析學生都是為了更好地建構概念，建構的關鍵是還原概念的抽象概括過程，學生只有經歷這個“再創造”的過程，才能理解概念，領悟思想，凝結素養.因此，對數學核心概念的理解是理解數學的首要任務，其結構關系如圖3.

4 落實數學核心素養的策略

對數學核心概念的解構是核心素養落實的基礎，代表著教師自身完成了對核心概念的深刻而精準的理解，是學生理解概念的前提.對數學核心概念的建構是落實核心素養的抓手，代表著教師完成了對教學過程設計的認識，是學生形成概念的基礎.但核心素養的真正落實，還得有方法，即策略.策略是從觀念走向行動、從理論走向實踐的路徑和方法.

4.1 讓核心概念結構看得見，會觀察世界

讓數學核心概念結構看得見是化抽象為具象，化無形為有形，幫助學生更順利地實現一次思維的飛躍，培養對比、分析、聯系的觀察的結構，積累用數學的眼光觀察世界的經驗，長此以往，將形成數學地觀察世界的思維習慣.

4.1.1 形成策略

形成策略聚焦概念的形成過程，主要是基于APOS理論展開.在這里，我們把中學數學不定義或本質屬性單一因而表述簡單的概念稱為簡單核心概念，這類概念的形成通常用直接使用法[4].

我們把本質屬性較多因而表述繁雜的概念稱為復雜核心概念，這類概念的形成通常采用問題驅動法.比如“向量”概念的形成的問題驅動如表1.

4.1.2 可視化策略

可視化策略聚焦概念的固化過程，是我們深度思考后的外顯表達.由于學生習慣形象思維與記憶，在概念學習之后，將概念的結構，以及概念與其他知識之間的聯系用一個可視化的結構圖表征，這樣既可以獲得概念的可視形象的支撐，又是對概念結構體系的概括.以下列出層次結構模式和蛛網結構模式以供參考.

比如“距離”的層次結構模式如圖4.

比如“函數”的蛛網結構模式如圖5.

4.2 讓核心概念結構留得下，會思考世界

讓數學核心概念結構留得下是化短暫為永恒，化凌亂為有序，幫助學生深化并完善對概念的認知，建立清晰、深刻、聯系的思考的結構，開始嘗試用數學的思維思考世界，長此以往，形成數學地思考世界的思維方法.

4.2.1 變式策略

變式策略聚焦概念的深化過程，可以讓學生全面認識概念，更好地掌握概念的本質和規律.比如函數的單調性，如何進行概念的深化？我們可以給出如下變式，深化對函數單調性概念的認識：

4.2.2 深度化策略

圖6

深度化策略聚焦概念的聯系過程.概念具有多元表征方式，比如形象表征、符號表征、關系表征等，不同的表征對應不同的思維方式.概念的多元表征可以促進學生多角度理解，可加強學生對概念聯系性的認識，是利用概念解決復雜、綜合問題的前提.比如“函數”概念借助可視化策略則可以讓這種縱向和橫向結構深刻而直觀.如圖6.

4.3 讓核心概念結構用得上，會表達世界

讓數學核心概念結構用得上是化靜態為動態，化被動為主動，提高學生主動應用或遷移概念的意識，建立有序、邏輯、精確的表達的結構，開始嘗試用數學的語言表達世界，長此以往，形成數學地表達世界的思維形式.

4.3.1 算法式策略

算法式策略聚焦概念的應用過程，應用又促進對概念的深刻理解.算法化是將陳述性的概念定義轉化為一系列有序的、有限的、可操作的程序性的算法知識.算法化是有條理、符合邏輯的思維和行動，其本質就是化歸這一基本思想方法所生成的策略．比如算法式判斷函數的奇偶如圖7.

4.3.2 項目化策略

項目化策略是聚焦核心概念的遷移過程，是創設引發學生主動投入探索、具有真實情境的挑戰性問題，讓學生在一段時間內對問題進行持續探究，達到對核心知識的再建構和思維遷移的策略.項目可大可小，比如“三角函數”概念學習完后可設計項目《制作彎管》，如表2.

其中問題（1）（2）（3）都是小項目，問題（4）則屬于大項目——數學建模.

李邦河院士說“數學從根本上是玩概念的”[5]，再次說明數學概念在數學教學中占有絕對重要的地位，那么核心概念就是重中之重了.然而，以數學核心概念為抓手，培育學生的核心素養并不是一蹴而就的事情，需要教師以“凌絕頂，覽山小”的氣度，深刻理解數學、理解概念，以哲學的眼光尋找萬物之聯系，修煉自己的“三會”，然后再引領學生走在“三會”的路上，經年累月，讓素養落地生根，花開無聲.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2-3.

[2]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程5教材5教法，2009（7）：47-51.

[3]埃里克森.概念為本的課程與教學[M].北京：中國輕工業出版社，2003：19.

[4]章建躍.章建躍數學教育隨想錄（上下卷）[J].基礎教育課程，2019（5）：81.

[5]任念兵.基于核心概念的高中“數學欣賞”教學的認識與實踐[J].中學數學教學參考，2017（28）：9-12.