二維切割視域下的高中數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)

1 問題的提出

某頂樓住戶計(jì)劃購(gòu)買種植箱利用樓頂種菜（圖1）.樓頂平面ABCD為矩形，如圖2所示，已知AB邊長(zhǎng)10 m，BC邊長(zhǎng)5.5 m.

種植箱內(nèi)堆放營(yíng)養(yǎng)土，供種植蔬菜使用.為方便播種、澆水、排水、施肥、除草、采摘等操作，每只種植箱的兩長(zhǎng)邊側(cè)至少有一側(cè)要需預(yù)留行人通道（因承重力受限，不允許人站在種植箱上面），通道寬不低于0.3 m.

（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)種植方案，使種植面積盡可能大.

（2）如果你是種植箱設(shè)計(jì)師，談?wù)勀愕脑O(shè)想.

2 問題的分析

第一個(gè)問題是對(duì)種植方面進(jìn)行設(shè)計(jì)，使得種植面積盡可能大.第二個(gè)問題是談?wù)勀阍O(shè)計(jì)的想法.針對(duì)這兩個(gè)問題，首先通過觀察可知，種植箱的高度均為0.3 m，故通過問題化簡(jiǎn)，可以將三維的種植問題轉(zhuǎn)化成二維的平面分割問題.通過分析可知，AB的長(zhǎng)度為10 m，BC的長(zhǎng)度為5.5 m，則可以將該問題轉(zhuǎn)化成在固定的面積上進(jìn)行分割，問如何分割使得分割剩余面積最小的問題.因此，基于該問題，由于種植箱規(guī)模已經(jīng)給定，故只需要進(jìn)行排列布局即可.因此，通過分析之后，本文認(rèn)為該問題是一個(gè)二維模板切割問題的變式，在這個(gè)基礎(chǔ)上，提出了基于BL（最左最下）算法下的排列局部，并通過Matlab軟件進(jìn)行完整的求解.

3 模型（固定面積的切割問題）的建立與求解

3.1 模型的假設(shè)

（1）假設(shè)種植箱均為固定形狀，不考慮種植箱的形狀改變.

（2）假設(shè)種植箱可以隨意擺放在任意的位置.

（3）假設(shè)各種種植箱數(shù)量均為無限供應(yīng)，各種種植箱都能夠進(jìn)行擺放.

（4）假設(shè)種植箱的尺寸不會(huì)任意改變.

（5）假設(shè)是在不考慮約束條件“管線井位置及通道”情況下進(jìn)行的固定面積切割.

3.2 符號(hào)說明

3.3 模型的建立與求解

（1）數(shù)據(jù)的預(yù)處理

在對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際問題進(jìn)行分析和建模前，首先應(yīng)該對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理操作，以便于后續(xù)數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)確性.對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行分析前，考慮到各種數(shù)據(jù)之間存在量綱不一致性，應(yīng)該先對(duì)量綱進(jìn)行歸一化操作.

（2）模型的建立與求解

通過分析，可以將該問題轉(zhuǎn)化成在固定的面積上進(jìn)行分割，使得分割剩余面積最小的問題.由于種植箱規(guī)模已經(jīng)給定，故只需要進(jìn)行排列布局即可.通過分析，本文認(rèn)為該問題是一個(gè)二維模板切割問題的變形，是基于BL（最左最下）算法下的排列局部，可以通過Matlab軟件進(jìn)行完整的求解，其核心思想如下：

第一步，將最高輪廓線設(shè)置為區(qū)域最底端.第二步，按照矩形器件的排列順序進(jìn)行讀取，每進(jìn)行一次矩形器件排放之后，就的最高輪廓線中選取出最低的那一段，作為基準(zhǔn)線.若存在多段高度一致的線段，則選取最靠左的線段作為基準(zhǔn)線.在進(jìn)行判斷時(shí)，會(huì)出現(xiàn)以下情況：①若基準(zhǔn)線的長(zhǎng)度大于或等于待放入的矩形器件長(zhǎng)度，則將該器件放置于該基準(zhǔn)線之上，同時(shí)更新最高輪廓線的水平；②若該基準(zhǔn)線的長(zhǎng)度小于待放入的矩形器件長(zhǎng)度，則將最低水平線更新至與當(dāng)前最低水平線相鄰的最高輪廓線中高度較低的一段齊平.第三步，重復(fù)第二步，直至所有矩形器件均排列在板塊上.

4 模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)

4.1 種植面積手動(dòng)布局

4.2 模型的評(píng)價(jià)

（1）模型的優(yōu)點(diǎn)：①本文所構(gòu)建的模型是基于遺傳算法的最優(yōu)種植面積分配模型，所得到的結(jié)果真實(shí)有效，使人信服；②本文在對(duì)模型進(jìn)行求解前，進(jìn)行了數(shù)據(jù)的預(yù)處理操作，使得后續(xù)的建模過程中不存在異常數(shù)據(jù)；③本文所構(gòu)建的最優(yōu)種植面積分配問題，不考慮各種異常狀態(tài)的取值，因此真實(shí)有效.

（2）模型的缺點(diǎn)：本文進(jìn)行了大量的模型假設(shè)，從而得到的結(jié)果可能和實(shí)際情況有一定差距.]

5 針對(duì)第（2）問的解答

正方形在擺放的過程中，由于長(zhǎng)、寬相等，所以均可以預(yù)留通道，能最大限度地利用好通道的面積，減少浪費(fèi).80 cm，40 cm，20 cm，10 cm，長(zhǎng)度成2倍關(guān)系，兩兩組合，可以靈活拼湊出所需的長(zhǎng)度.問題中管線井左側(cè)1 m的寬度，由于需要預(yù)留0.3m的通道，采用原有的種植箱型號(hào)的話，只能使用寬度為0.4 m的型號(hào)，有0.3 m的寬度就浪費(fèi)了.在布局最優(yōu)種植面積的時(shí)候大量使用了80×80型號(hào)的種植箱，能使得種植面積容易取得最優(yōu).