閱讀與思考：函數概念史話，融入數學文化

數學文化作為數學中的一個基本知識點，合理滲透到高中數學教材中去，往往以教材知識以及課后閱讀材料等形式來展示，以“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等板塊形式來介紹與體現.因而，教學中應合理挖掘高中數學教材中對應數學文化相關欄目的內涵與應用，充分引導學生深入去閱讀、去理解、去體會，這樣才能正確融合數學文化，提升數學文化內涵與數學綜合應用，給數學學習創造更多的場景與應用.

江蘇鳳凰教育出版社2019年出版的《數學》（必修第一冊）第5章“函數的概念與性質”第123頁給出了“函數概念的形成與發展”的閱讀材料.基于教材的這個閱讀材料，函數概念的史話等，給函數概念與性質模塊知識的學習提供了更加寬廣的空間，也是全面考查函數的基本概念與基本性質、基本應用的“四基”與關鍵能力等最為重要的一個創新應用場景，備受各方關注.

1 數學文化史話

正如其他的數學概念一樣，伴隨著數學的發展，函數的概念也在不斷地變化和改進中.而隨著數學史的研究，相應數學概念的產生與發展等，對于數學的發展有著不可估量的作用，同時也對數學分支的開展與應用產生奠定性的作用.而函數的概念與應用就是其中一個非常重要的知識.

1.1 世界函數概念的演變

在數學家笛卡爾（René·Descartes，1596—1650）引入變量的概念后，變量與函數等相關概念日益滲透到數學研究以及其他科學技術的方方面面.特別地，當今社會中非常多的相關學科，都和函數的基本概念等息息相關，如宇宙中的天體運動、熱導的傳遞與應用、電磁的傳遞秘密等，這些現實生活中的實踐與實際應用，往往都離不開函數的基本概念及其應用.

德國數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm-Leibniz，1646－1716）最早提出了函數（Function）這一基本概念，他在1692年發表的一篇論文中提出的.基于萊布尼茨的函數基本概念，一般認為，函數作為冪的同義語是函數概念的解析起源，用函數表示幾何量是這個概念的幾何起源.

直到1718年，瑞士數學家、萊布尼茨的學生約翰·貝努利（Johann Bernoulli，1667－1748）把函數定義為：“一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量.”貝努利這里強調，函數往往要用相應的公式來表示與應用，即所有變量x和常量構成的式子都叫做關于變量x的函數.

表示函數的記號f（x）是瑞士數學家約翰·貝努利的學生歐拉（Euler，1707－1783）于1734年引進的.1748年，歐拉在《無窮分析引論》中，把變數和常量以及由它們的加、減、乘、除、開方、指數、對數等算法聯系起來所構成的式子，均稱為函數.

到1821年，法國數學家柯西（Cauchy·Augustin-Louis，1789-1857）在《分析教程》一書中，第一次通過自變量來引入函數的基本定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數.”

德國數學家狄利克雷（Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune，1805－1859）于1837年，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826－1866）于1851年給出了函數的基本定義：“若對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這兩個數學家都認為怎樣去建立變量x與y之間的對應關系是無關緊要的，這個有關函數的基本定義曾被比較長期地使用著.

直到19世紀末，在德國數學康托爾（Cantor·Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845－1918）的集合論得以普及并被大眾所接受后，現行高中數學教材中的函數基本概念，才通過集合對應關系來加以進一步定義.

1.2 中國函數概念的由來

中國函數概念，這一名字最早出現在清代數學家李善蘭（1811－1882）1859年與英國學者偉烈亞力（Alexander Wylie，1815－1887）合譯的《代數學》和《代微積拾級》中，把“Function”譯成“函數”.

1.3 函數概念的發展

函數研究范圍的不斷擴展，帶來了更廣泛意義下的函數連續性、可微性、可積性等一些新問題.而對函數的深入發展與研究，有關函數的研究、發展、拓廣等，將不斷影響著數學學科以及其他相鄰學科的發展與應用.

2 函數概念創設

2.1 概念判斷

點評：根據函數的概念，確定對應的函數定義域、對應法則以及對應的函數值域，這往往是進行函數概念判斷與應用中比較常見的基本形式.挖掘函數概念的“三要素”，就對應的定義域、對應法則以及值域等來剖析與應用.

2.2 概念辨析

點評：對于此類涉及函數的“三要素”的概念辨析問題，特別涉及存在性命題的判斷時，通過舉實例即可判斷存在，往往從比較熟悉的基本初等函數中合理選取相應的特殊函數類型來判斷其存在性問題.

2.3 概念拓廣

點評：合理拓廣函數的概念，結合狄利克雷函數的基本性質，抓住函數的值域、周期性以及奇偶性等方面來推理與應用，實現問題的判斷與應用.這里的關鍵是抓住自變量為有理數與無理數這兩種不同情況來分類討論與分析.

[JP+1]依托高中數學教材中“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等板塊，結合相應的閱讀、理解、探究與應用，合理介紹相關數學歷史與史話的來龍去脈，探究數學文化的內涵與實質，對于提升學生的學習內涵與深度學習等方面都是有幫助的.同時依托相關欄目的應用，給數學文化的融入與滲透提供更多的場景，對于提升數學思維品質與關鍵能力，養成良好的數學閱讀習慣與培養數學核心素養等方面都是十分有益的.