“大象無形”學(xué)數(shù)學(xué)：談高中數(shù)學(xué)模型融合

摘要：針對學(xué)生進入高中后對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不適應(yīng)和初高中學(xué)習(xí)方式的差別，以二次曲線和數(shù)列中待定系數(shù)法的設(shè)法為例，提出數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)建模靈活性和從小建模到大建模遷移借鑒的觀點.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；數(shù)列；二次曲線；待定系數(shù)法

很多學(xué)生進入高中后，學(xué)習(xí)非常勤奮但是收效不佳，他們努力而茫然，不知道問題出在哪里.特別是一些初中學(xué)習(xí)很好的學(xué)生，反而更不適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)，這是為什么呢？

筆者通過多年的教學(xué)工作梳理發(fā)現(xiàn)，學(xué)生從初中到高中的學(xué)習(xí)過渡中存在一些共性的問題，尤其在數(shù)理化這樣的理科學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得尤為明顯.所謂初中的學(xué)習(xí)好，往往是來源于聽話，能勤懇地去記憶老師教的一些結(jié)論性的東西，往往背公式和套例題就能得分，但通常不求甚解，知其然而不知其所以然.如果你問他為什么這么做，他會告訴你“老師講的第一步先這樣，第二步再那樣”，或者是“書上例題就是那么寫的”，再追問這么做的原因，就講不出了.本質(zhì)上就是他們?nèi)狈?shù)學(xué)邏輯思維的支撐，沒有真正學(xué)明白.這套學(xué)習(xí)方法在初中可以，但到高中龐大深邃的知識體系和浩瀚的題海中就行不通了.

高中的題目往往還有形同質(zhì)異（看上去很像但完全不是一種解決方法）和形異質(zhì)同（看上去很不一樣但本質(zhì)是同一種題）的情況.這就要求我們抓住問題的核心，不能再拘泥于固定的一招一式，應(yīng)舍棄總想去套用現(xiàn)成方法的慣性;要理解知識的本質(zhì)，掌握解決問題的內(nèi)在邏輯.學(xué)得越靈活，思維越打開，學(xué)習(xí)效果就越好.

這里所說的思維的靈活，并不僅僅是一章一節(jié)或者某一個數(shù)學(xué)模型內(nèi)部的，還要注重數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，尤其是各個數(shù)學(xué)模型之間可以互相借鑒、遷移的內(nèi)容.這樣學(xué)生就能把看似分散的題型和知識點融合起來，合并成同一類數(shù)學(xué)模型去分析、解決，從而“把書讀薄”，進而“游出題海”.

以下筆者以二次曲線和數(shù)列問題中的待定系數(shù)法的設(shè)法為例，淺談一下數(shù)學(xué)模型的遷移和融合.

1 用待定系數(shù)法求圓的方程

當(dāng)已知條件為圓的幾何要素（如圓心坐標和半徑長）時，可用直接法寫出圓的標準方程.當(dāng)已知條件均為圓經(jīng)過的點時，適合用待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程代入求解（部分點較特殊的題目，更適合用幾何法，即通過求弦的垂直平分線來解題），如例1.當(dāng)已知條件既涉及幾何要素又涉及部分點時，通常既可以設(shè)標準方程也可以設(shè)一般方程，解題時視具體情況而定，如例2.

2 用待定系數(shù)法求橢圓、雙曲線和拋物線方程

當(dāng)已知條件為圓錐曲線的幾何要素（如焦點所在的坐標軸、通徑長、橢圓和雙曲線的焦距、橢圓的長軸長和短軸長、雙曲線實軸長和虛軸長、拋物線的焦準距等）時，可設(shè)圓錐曲線的標準方程，如例3.

3 用待定系數(shù)法求數(shù)列通項與前n項和

在求數(shù)列通項和前n項和的問題中，基本量中的首項和公差（公比）類似于前兩類問題中的幾何要素，如果已知條件主要集中在基本量上，則可以用基本量法通過通項公式和前n項和公式求解.一般來說，大多數(shù)列問題都可以用基本量法解決，雖然可能不是最佳解法.

雖然圓、圓錐曲線和數(shù)列看似知識點天差地別，但是一些問題的處理方式其實存在互通之處，思維方式可以互相遷移、借鑒.當(dāng)數(shù)學(xué)思維達到一定高度時，就會發(fā)現(xiàn)它們的共性，實現(xiàn)這幾部分知識點的貫通，不再囿于孤立的一種數(shù)學(xué)模型，從小建模思路到大建模視角.上文中的例子只是冰山之一角，用心觀察勤于思考，就會發(fā)現(xiàn)更多的橫向聯(lián)系.而建立不同數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系，是對自己的數(shù)學(xué)或者理科思維的一種極大的提升，正如武俠小說中所說的打通任督二脈，不再拘泥于一招一式！這樣學(xué)生對于知識的掌握更清晰、更透徹，不再懼怕形同質(zhì)異和形異質(zhì)同的問題，這才是把握到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正核心.

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)切記不能死記硬背、生搬硬套.學(xué)習(xí)中要注重訓(xùn)練縝密的邏輯思維、強化建模能力，而最終要追求的是模型間的相互融合，相互啟發(fā)，相互遷移——這也就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“大象無形”！