空間向量在立體幾何中應用的誤區

1 問題提出

筆者從幾個民間公眾號中發現，本題絕大部分解答是先用綜合法證出AE⊥BC，然后建立空間直角坐標系，通過坐標運算來解決.為什么會出現這種千篇一律的處理方式呢？如果∠ADC=45°，∠ADB=60°又是怎樣的呢？是因為這種處理方式很好還是其他原因呢？無獨有偶，筆者在最近一次優課比賽的聽課學習中也發現了這個問題，本次賽課的課題是“空間向量與立體幾何復習課”，很多選手處理問題的角度驚人地相似，基本都是選擇運用空間直角坐標系解決空間角與距離問題.從學生的回答來看，坐標法也是首選，當老師給出的圖形不太適合建立坐標系時，學生立刻就想到了綜合幾何法，讓人感覺到空間向量在立體幾何中的運用就是坐標法.筆者認為，這可能是教者在處理空間向量在立體幾何中應用時思維上的一個誤區.那么，這種固化的思維是怎么形成的呢？

2 誤區形成的原因

2.1 先入為主，思維誤導

運用空間直角坐標系解決立體幾何問題，最初出現在教師和學生的視線里是在2008年高考之前，當時蘇教版教材中沒有空間向量這一章，部分教師為了應對高考中的立體幾何計算問題，額外給學生作了補充，結果在高考中取得了非常好的效果，于是乎很多教師跟風效仿這一行為.當新教材中出現空間向量時，教師們在教學過程中出現了輕空間向量基本定理重坐標運算的現象，直到近兩年高考中坐標法不“香”了時，大家才開始重視“綜合幾何法”.那是不是當題目已知條件不方便建系時就只能用“綜合幾何法”呢？

筆者在一些關于“空間向量”的教學建議的文章中也發現更多的是在講如何建系，如何求法向量，如“教學時應當采用最基本的長方體或正方體模型進行方法教學與練習，暫時撇開建系難度.待學生掌握好基本求解方法后，再進行建系訓練，逐步讓學生接觸僅有兩邊垂直、需要找第三邊垂直便能順利建系的模型，或是三邊均不相互垂直，尋找建系基礎的鍛煉”[1].類似的教學建議有很多，側重點都是坐標法的運用.這在某種程度上是對教學的一種誤導，也是現在教學中誤區形成的一個原因.

2.2 缺乏創新，經驗主義

新高考的改革為原有數學教學體系進行了針對性優化，并且《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）

也順應新高考改革作了相應調整.但就“空間向量與立體幾何”的教學情況來看，教師在教學中依然存在難以落實新高考要求的現象，缺乏創新性的數學思維，錯誤地認為將空間向量應用在立體幾何中就是坐標法的運用，用多年來的“經驗”來指導教學，只關心“法”不關心“基”，導致了教學誤區的形成.

3 如何走出誤區

3.1 《課標》引領，立足課本

《課標》提出，空間向量與立體幾何的教學中，應重視以下兩個方面：第一，引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性和差異，引發學生思考維度增加所帶來的影響；第二，鼓勵學生靈活選擇向量方法和綜合幾何法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會向量方法的優勢.在上述過程中，引導學生理解向量基本定理的本質，感悟“基”的思想，并運用它解決立體幾何的問題[2].

但在一線教學過程中主要體現在正交基底狀態下的坐標法，這是對課標的解讀出現了偏差.教師在教學過程中憑借經驗總結的“坐標法不行就綜合法”的解題“策略”，事實上也不完全正確.

3.2 重視基本理論，追本溯源

首先我們需了解空間向量中的兩條基本理論：

方法一依賴于正交基底，想方設法尋找正交基底，然后建立直角坐標系；方法二不需要尋找正交基底，給出一組已知模和夾角的基底就可以解決空間角與距離問題.全國Ⅰ卷的立體幾何題，建系特征明顯，兩套試卷充分體現了課標的精神：鼓勵學生靈活選擇運用向量方法和綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題，通過對比體會向量方法的優勢.

4 結束語

空間向量在立體幾何中的應用，應站在空間向量基本定理的本質上看問題，而不應該將向量的應用局限在坐標運算這樣的思維誤區.

參考文獻：

[1]黃華勝，招毅峰.對空間向量教學方法的理解[J].新課程（中旬），2013（1）：96-97.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.