例析數形結合思想在高中數學中的應用

數形結合是指將研究對象中存在的數量關系、數學語言與直觀的圖象有機地結合在一起，通過以數輔形或以形助數等方式，將一些抽象、復雜的問題變得簡潔、具體化，實現優化解題的目的［1］.數形結合思想的應用十分廣泛，如在方程與不等式、集合、三角函數、數列、線性規劃等問題中，使用頻率均很高.為此，本文中以它的應用類型為起點，引用幾個實例具體談談如何以形助數，優化解題.

1 數形結合的類型

1.1 以形助數

將抽象的數量問題轉化為直觀的圖形，是解決問題的一種常用方法.在高中數學中，轉化途徑主要有平面幾何、立體幾何與解析幾何三大類.以形助數遵循的一般規律為：首先分析問題的結構，將已知條件與待求目標進行分解，比較、分析條件與目標之間存在怎樣的內在聯系［2］.鑒于此，解題時首先要明確問題的條件與結論，并以二者作為觀察的出發點，分析其的表達方式，找出“數”所對應的“形”，以構造出合適的圖形，從而解決問題.

1.2 以數輔形

雖然圖形具備直觀形象的視覺優勢，但其在定量方面遠遠不如數的計算來得準確.尤其是一些復雜的圖形，在將它轉化為數的過程中，要特別關注它所蘊含的隱含條件，只有找準圖形的實質，才能進行精確的分析與計算.以數輔形的主要解題思路為：首先要明確問題的條件與結論，分析圖形特征與所表達的意義，構造與之對應的代數關系式，從而獲得結論.

1.3 數形互通

數形互通是指在一些問題中，不能單純地依靠以形助數或以數輔形來解決問題，而需通過數與形的互相轉化來解決問題.數形互通常從問題的條件和結論同時出發，找出“數”與“形”相互對應的關系，達到見形思數、見數獲形的目的.數形互通的本質，即前兩種類型的結合.

2 以形助數的應用

2.1 解決集合問題

集合是高中數學教學的基礎與重點，不少數學概念都是建立在集合的基礎上而形成，深度掌握集合知識對提高數學學習效率具有重要影響.尤其是遇到集合的定義、交并補等至關重要的知識，一般我們以平面直角坐標系、韋恩圖與數軸等來表達其中的關系，讓學生從圖形中更直觀地理解問題，達到事半功倍的解題效果.

本題考查利用venn圖解決實際問題，也是數形結合的典型例題之一.利用圖形來解決集合問題，可讓結論變得更加直觀.學生一旦掌握了用數形結合思想來解決集合問題，對后期更為深入的學習具有很大的幫助.集合作為高中階段的開篇教學，對建立學生學習的信心，以及后期的學習都有深遠的影響.為此，教師在本章節的教學，應尤其關注學生對數學思想和方法的掌握情況，讓每個學生都能從課堂中掌握數形結合思想，為整個高中階段的數學學習奠定堅實的基礎.

2.2 解決函數問題

觀察本題，不難發現數形結合思想在解決函數問題中具有簡化問題難度的作用.若單純用計算的方式來求a的取值范圍，繁瑣且容易出錯，甚至有些學生會毫無頭緒，而將問題用圖形的方式來表達，則讓人一目了然.學生通過對圖象的觀察，很快就能獲得正確的結論.

因此，數形結合法在解決函數問題中，具有簡化問題難度、迅速求解的功能.教學中，我們發現不少函數問題都是以圖形的形式呈現，觀察這些圖形，不僅能發現豐富的代數知識，還能從直觀的圖形中一眼看出重要的信息，為解決問題提供幫助.

2.3 解決三角函數問題

遇到求解三角函數的定義域問題，需在確保函數式有意義的情況下，通過列不等式的方式，取得相應的交集.常見的解題方法有函數圖象法與單位圓法.函數圖象法是在函數圖象中找到與條件相符的邊界角，由此寫出集合；而單位圓法則是在單位圓中畫出相應的角，據此標示邊界三角函數.

關于三角函數單調區間所涉及到的大小比較及最值等問題，一般都選擇將函數轉化為基本的三角函數模型，轉化后借助圖象或單位圓等來解決問題.此過程是一個典型的數形結合的過程，這種轉化模式能讓學生快速抓住問題的核心，從圖形的表達中獲得待求的結論.

三角函數是高中數學教學的一個難點，不少學生遇到比較函數值的大小或函數解析式的問題就感到畏懼.通過本題不難發現，若能靈活地將數形結合思想應用到此類問題中，則可將復雜的函數問題用簡潔的圖形表達出來，學生通過對圖象的觀察與分析，解題思路則豁然開朗.

2.4 解決解析幾何問題

縱觀近些年的高考試卷，會發現立體幾何試題與解析幾何試題出現的頻次較高.由此我們也能看出它們的重要性.解決此類問題的基本思想即數形結合思想，就是要將圖象的特征與相關定義有機地結合在一起，進行綜合性的研究與分析.這就要求學生要深度了解各類圖形，如橢圓、拋物線、雙曲線、圓和一些空間圖形的幾何意義與相關性質，從而在知此知彼的狀態下，達到靈活應用的地步.

由本題來看，代數與幾何有著密不可分的聯系，解析幾何終究是研究幾何問題.因此，我們在強調代數方法的同時也要注重幾何圖形本身的性質與內涵.

總之，數形結合法不僅具有分析問題的數量關系、表達圖象性質與意義等作用，還具有啟發思維、激發興趣、拓展思路、化繁為簡等重要作用[3].因此，我們在教學中應引導學生熟練掌握數形結合思想，在提高學生解題能力的同時，能有效地提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］錢建良，張菁.例說數形結合思想的應用[J].中學生數學，2014（9）：15-18.

[2]徐慈平.重視數形結合培養學生能力[J].初中數學教與學，2014（6）：21-23.

[3]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.