基于代數基本定理中的三次方程及其應用

高考數學命題及其應用中，經常有一些涉及三次方程或三次函數的“三次”問題，其是基于“二次”方程、函數、不等式等的深入與拓展，也是數學思維的升華與應用.而高中數學教材中的“閱讀與思考”板塊，設置了與“三次”有關的數學問題，借助代數基本定理中有關三次方程根與系數的關系（韋達定理）來深入分析與轉化處理，解決問題更加直接有效，簡化數學運算，優化邏輯推理.

1 依托教材本質

閱讀與思考 江蘇鳳凰教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》（必修第二冊）第十二章“復數”第134頁閱讀——復數系是怎樣建立的？

復數概念的深入與推廣，其實質就是代數基本定理，概念主要是基于16世紀上半葉來應用，最早的記錄出現在荷蘭數學家吉拉爾的論著《代數新發現》（1629）中，他大膽推測并斷言“n次多項式方程有n個根”，但在論著中并沒有給出相應的推理與證明.

隨著數學的發展，1637年笛卡兒也提出了代數基本定理，只是其表述形式與現代的代數基本定理的表述不盡相同.后來數學家馬克勞林和歐拉使得該定理的表述更為精確，數學家達朗貝爾于1746年第一次給出了代數基本定理的證明.直到18世紀后半葉，數學家歐拉、拉普拉斯、拉格朗日等對代數基本定理相繼給出了一些相應的推理與證明.

這里通過教材中“閱讀”板塊來介紹代數基本定理，在二次方程的基礎上巧妙地加以拓展與應用.關鍵是介紹三次方程根與系數的關系（韋達定理），并在此基礎上，進一步加以深度學習與創新應用.

2 三次方程之韋達定理

以上公式就是對應的三次方程根與系數的關系，即三次方程的韋達定理.三次方程的韋達定理，是對初中數學中二次方程的韋達定理的深入與拓展，成為初中數學、高中數學與高考數學之間自然過渡的橋梁，也是高考數學、高中競賽等命題中比較常見的考查場景與綜合應用.

3 問題場景創設

借助“三次”場景應用，結合三次方程根與系數的關系，即三次方程的韋達定理，在解決一些涉及“三次”問題中有奇效，可以有效提供切入視角，更好地優化解題過程，提升解題效益.

3.1 復數場景

點評：代數基本定理的適應范圍是復數范圍，在解決一些復雜的復數場景問題時，特別是與“三次”有關的數學綜合與應用問題時，經常通過回歸“三次”問題，借助三次方程的韋達定理，結合對應的公式應用，構建相應根或零點之間的關系式，為進一步分析與應用創造條件.

3.2 方法創設

點評：這里以解題方法的形式給出對應的三次方程及其應用問題.將高次（這里是三次）方程的求解與應用問題轉化為平面解析幾何的直觀法來分析與處理，有“圖”有真相，處理起來更加直觀形象.關鍵是從閱讀理解視角來展開，合理挖掘方法的實質與內涵來分析與應用.

3.3 公式應用

點評：根據題設條件引入參數，化“三次”函數問題為“三次”方程問題，合理進行等價變形與轉化.在此基礎上，借助三次方程的構建，利用三次方程的韋達定理來轉化與應用，設而不求，巧妙變形與轉化，實現代數式的求值與應用，是解決此類問題最為常用的一種技巧方法.

3.4 綜合應用

點評：在解決一些涉及“三次”的綜合問題中，特別是三次方程或函數的綜合應用問題中，合理恒等變形，巧妙等價轉化，將對應問題巧妙化歸為相應的三次方程或函數問題，進而利用三次方程根與系數的關系來綜合應用，這是解決問題的關鍵所在，也是問題的重要切入點之一.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，合理依托高中數學教材中的相關板塊，巧妙融入數學文化與史話知識，介紹一些相關知識的來龍去脈，剖析數學文化的內涵本質，成為深度學習一個重要方面.

同時，依托高中數學教材中對應板塊的應用，結合數學文化的融入與滲透，進而創設更多的應用場景，對于提升數學思維品質與關鍵能力，養成良好的數學閱讀習慣與培養數學核心素養等方面都是十分有益的.