2023年命題比賽獲獎論文之十一:一類涉及坐標運算的解析幾何問題的解析與思考

摘要：數學運算是高中數學六大核心素養之一，解決直線與圓錐曲線的相關問題時，學生處理點、線的方法通常比較單一，不能有效結合點的坐標與曲線的方程優化運算，尤其是圓錐曲線中出現多點問題時，往往常規聯立直線與圓錐曲線方程，應用韋達定理解決問題，導致數學運算復雜、甚至無法解答，本文中從點的坐標參與直線方程求解的角度出發，編制一道橢圓上多點問題并解答，探索坐標背后的密碼.

關鍵詞：多點問題；坐標運算；減元化歸

原創 如圖1所示，長度為33的線段AB的端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，其上動點M（x，y）滿足AM=2MB，設動點M的軌跡為C，定點E（－1，0），D（－3，0）.

（1）求C的方程；

（2）設點P（－2，2），過點P的直線l與C相交于N，Q兩點，直線DN與C的另一交點為R，直線DQ與C的另一交點為T，若R，E，T三點共線，求直線l的方程.

1 問題提出與思考

1.1 問題的提出

數學運算是高中數學六大核心素養的關鍵性素養.教學中發現，學生的運算能力不足與運算方法的單一性相關［1］.高中教學內容與考試內容中的解析幾何有時作為壓軸題出現，學生在解題時雖然容易發現解題的切入點，但受思維定勢和解題模式的影響，往往首選常規解題路徑.在解析幾何部分的試題設計與學生解題中，筆者發現學生的解題基本就是“設線、聯立、韋達定理”三件套，或者是“設點、作差、構造斜率”，將直線方程的運算與點的坐標運算分離，遇到圓錐曲線上的多點問題，容易陷入復雜的多變量運算，再加上在長期的運算過程中形成的整理算式不規范的疊加影響，因而很難完成最后的計算［2］.近幾年的高考試題中，圓錐曲線上的多點問題出現的頻率上升，如2019年浙江卷、2020年全國卷Ⅰ、2021年全國卷Ⅰ、2022年全國甲卷.最近有幸拜讀了文［3］中關于圓錐曲線求解方法中坐標運算的幾種方法，同時聯想到教育部最新發布的通知的精神，2023年高考數學要求加入復雜情境，強調數學思維方法，比以往考試難度更大.根據這樣的背景，筆者嘗試探索一類圓錐曲線多點問題中點的坐標參與直線方程求解的問題，促成了這道量身打造的試題的命制.

1.2 命題的思考

聯想中國傳統工匠（木工、白鐵工、金銀飾等行業）使用橢圓規畫圖的情形，充分體現中國傳統數學文化的育人價值，可用于考查平面中動點軌跡方程的求解及直線與橢圓相交的問題.以橢圓中蝴蝶定理相關知識為背景，側重考查圓錐曲線上的多點坐標運算，將坐標參與到直線方程中解決問題.

2 試題設計、修正過程與實測情況分析

看到學生的解答與了解的情況，筆者做了深刻的反思.由于問題設置的結論太明顯，使得學生有可乘之機，失去了編制本題考查的目的，再觀察學生的解答，依然是利用單一的點的坐標運算解決問題，或利用相交法結合韋達定理化簡，沒有達到預想的將坐標參與到直線的方程中解決問題.為了達到考查的目的，轉變方向，提升難度，將問題改為過點P（－2，2）的直線與曲線C相交的問題，便有了本題的最終形式.

3 命題分析

本題在設計時側重考查橢圓中多點坐標之間的轉化，常規的點差法與相交法在處理多點的坐標轉化時運算復雜，而利用思維導圖中的設直線方程與橢圓方程聯立并進行消元時，讓交點坐標參與到直線方程中進行坐標間的轉化是非常合適和有效的，簡化了運算過程.

4 結束語

六大數學核心素養之數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析在圓錐曲線這一數學知識體系的學習與研究中都可以得到具體的體現.對圓錐曲線問題的研究能提升學生對數學學習的興趣與樂趣.在設計相關問題時，能將點的坐標與直線方程相結合，解決圓錐曲線中的多點問題，將復雜的代數運算簡化，探尋坐標背后的密碼，必然達到事半功倍的效果.

參考文獻：

［1］楊平飛.高中數學教學中核心素養培養策略探究［J］.數學學習與研究，2023（7）：101-103.

［2］張可忻.高二學生解析幾何認知結構與問題提出能力的關系研究［D］.南京：南京師范大學，2021：44-60.

［3］駱銀海，李紅慶．解析幾何中一類需要優先考慮用字母運算的問題及其解法［J］．數學通訊，2023（1）：32-34，37.

［4］毛浙東.解析幾何教學要注重對學生進行“算法”的引導［J］.數學通報，2023（3）：29-34.