數學解題最根本的指導思想：轉化與化歸

摘要：轉化與化歸是對數學解題規律的本質認識，是數學解題最根本的指導思想即數學解題思想.熟練掌握轉化與化歸思想是走出題海、走向高效教學的必經之路.

關鍵詞：轉化與化歸；數學解題規律；數學解題思想

1 對數學解題過程的回顧

回顧求解數學問題的過程和經驗就會發現，我們總是將待解決的陌生問題，通過轉化，歸結為一個比較熟悉的問題；將比較困難的問題，通過轉化，歸結為一個比較容易的問題；將比較復雜的問題，通過轉化，歸結為一個比較簡單的問題.這樣，我們就可以充分調動和運用已有的知識、方法和經驗，用盡可能熟悉的、容易的、簡單的方法去解決問題.這種求解數學問題的思想就是轉化與化歸思想.

化歸是轉化、歸結的簡稱.從方法論的角度來看，化歸就是通過轉化，將原問題歸結為比較熟悉的、容易的、簡單的問題.從認識論的角度來看，化歸就是用聯系的、運動的、發展的、變化的觀點來認識問題，通過對原問題的恰當變換，使之成為一個易于解決的問題.它的科學概括就是解決數學問題的根本指導思想——轉化與化歸思想.

化歸的基本思路是：人們在解決數學問題時，常常將待解決的問題A，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對容易解決的或有固定解決程序的問題，且通過對問題B的解決可以得到原問題A的解.其中問題A稱為化歸的對象，B稱為化歸的方向.

化歸的哲學基礎是人們對事物間的普遍聯系和矛盾在一定的條件下相互轉化的能動反映，它著眼于揭示聯系，實現轉化，通過矛盾的相互轉化來解決問題.

2 化歸是數學家特有的思維方式

匈牙利著名數學家路莎·彼得在她的名著《無窮的玩藝：數學的探索和旅行》一書中曾對“化歸”做過生動而風趣的描述.她指出：“他們（數學家）往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將其變形，直至轉化成能夠得到解決的問題.”這是對轉化與化歸思想的精辟論斷.

數學家特有的思維方式是轉化與化歸.遇到問題，總是設法把它轉化為另一個熟悉的、容易的、簡單的問題.這的確是數學家解決問題的一個習慣，也是一件非常有力的武器.

3 轉化與化歸是數學解題最根本的指導思想

數學是一門演繹科學，數學學科嚴密的邏輯性特點使得轉化與化歸順理成章地成為數學解題最根本的指導思想.我們知道：數學知識體系擴展的原則之一是從簡單到復雜，從具體到抽象，從低級到高級；原則之二是將要探索的新問題轉化為已經解決的老問題，也即尋求未知事物通向已知領域的“橋梁”，是數學知識體系擴展的重要手法.現代數學都是按照公理化體系建構的，它的任何一個分支中的概念都要排成一定的順序，后面的概念要用前面的概念來定義；它的定理、公式、法則也要排成一定的順序，后面的要用前面的來證明，所有的命題組成一個十分嚴密的邏輯鏈條——數學命題鏈，環環相扣，聯系密切，單向排列.同時，還定下了一條規矩：不能用后面的概念來定義前面的概念，也不能用后面的定理、公式、法則來證明前面的定理、公式、法則，否則就會造成惡性循環，這是絕對不允許的事.在同一個數學分支內部，任何一個正確的結論，都可以作為推斷其他結論的依據.由于存在數學命題鏈，因此我們用不著事事都回到原始概念或最前面的命題，只需將待解決的問題轉化為數學命題鏈中的某一個環節即可，從而加速問題的解決.在解決新問題時，把新問題轉化為老問題，把陌生的轉化為熟悉的，把困難的轉化為容易的，把復雜的轉化為簡單的，把抽象的轉化為具體的，用已有的知識、方法和經驗去解決新問題.這就是轉化與化歸自然而然成為數學解題最根本的指導思想的重要原因和理論依據.

4 轉化與數學知識之間的關系

（1）公理：公理是已被實踐證實是正確的、不加證明而直接采用的命題.公理是數學推理的根本依據，都具有轉化功能，因而是轉化的根本依據.

比如：平面是立體幾何中的原始概念，公理一、二、三刻畫了平面的基本性質，是整個立體幾何的基礎.公理一給出了判斷直線在平面內的依據.公理二及其三個推論是確定平面的依據.公理三是確定兩個平面相交的依據.公理四是證明空間兩條直線平行的依據.總之，四條公理是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題的根本依據.

（2）原理：數學原理是帶有普遍性的、最基本的、可以作為其他規律基礎的規律.數學原理都具有轉化功能，因而是轉化的根本依據.

比如：立體幾何中的祖暅原理是非常重要的原理，可用定積分的知識加以證明，證明過程也比較簡單.在研究幾何體的體積時，首先給出長方體的體積=長×寬×高（公理），然后利用祖暅原理把柱體的體積轉化為長方體的體積，得出柱體的體積=底面積×高；又利用祖暅原理把一般錐體的體積轉化為等底等高的三棱錐的體積，用割補法把三棱錐的體積轉化為等底等高的三棱柱的體積的三分之一，得出三棱錐的體積=13×底面積×高；再用割補法得出臺體的體積公式.最后利用祖暅原理把半球的體積轉化為等底等高的圓柱與圓錐的體積之差，從而得出球的體積公式.

（3）定義：數學概念是建構數學知識的基礎，是建立數學大廈的基石，是數學知識、方法的根本.數學中新概念是建立在舊概念的基礎上的，用舊概念來定義新概念.數學中的定理、公式、性質和法則等，都是利用公理、原理和定義推證出來的.因此，數學概念的定義都體現了轉化思想，都具有轉化功能，因而是解題時實現轉化目標的根本依據.波利亞在“解題表”中告誡我們：“回到定義上去.”這是一條十分重要的解題思路，也是最基本的解題方法.

比如：研究立體幾何空間角的概念時，首先定義了兩條異面直線所成的角，然后定義了直線與平面所成的角，最后定義二面角.盡管“兩條異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”“二面角”在定義的表述上不盡相同，但它們最終都轉化為平面內兩條相交直線所成的角，即用“線線角”來刻畫、度量.不僅如此，在空間向量的視角下，空間三類角都可以轉化為兩個向量的夾角，并且有統一的求解公式.這一方面體現了空間問題平面化的轉化思想，另一方面也充分體現了空間三類角的本質特征就是“線線角”.

（4）定理：數學定理是對一類數學對象得出的具有應用價值的共性結論.數學定理的證明過程都體現了轉化思想，每個數學定理都具有轉化功能，因而是解題時實現轉化目標最重要的依據.

比如，微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：設F（x）是f（x）的原函數，則

該定理深刻揭示了定積分與被積函數的原函數之間的聯系，這是微積分中最輝煌的成果.運用它可以把求函數f（x）在閉區間[a，b]上的定積分這樣一個極其復雜的問題，轉化為求函數f（x）的原函數F（x）在x=b和x=a時的函數值之差這樣一個簡單的問題，使定積分的計算問題轉化為求原函數的問題，因而具有極其重要的應用價值.

（5）公式：數學公式是用數學符號表示幾個量之間數量關系的式子，具有廣泛的應用價值.每個公式都是從某一個已知的式子（等式或不等式）出發推證出來的，即公式的證明過程都是轉化為某個已知的正確命題.每個數學公式從使用的角度來看都具有轉化功能，是對數與式進行恒等變形、同解變形、等價變形、不等價變形的重要工具.因此，每個公式都是轉化的最重要依據.

比如，梯形的面積可以用割補法轉化為矩形或平行四邊形或三角形的面積，或它們的和或差，其轉化途徑有十幾種之多.

（6）法則：數學中有許多運算法則，各種運算法則及其運算律、運算性質都體現了轉化思想，根據運算法則、運算律和運算性質進行計算時都體現了轉化思想.因此，各種運算法則和運算律都是轉化的重要依據.

比如：有理數的運算中，首先給出有理數的加法法則，把有理數的加法轉化為算術數的加減法；再給出有理數的減法法則，把有理數的減法轉化為加法；然后給出有理數的乘法法則，把有理數的乘法轉化為算術數的乘法；接下來給出有理數的除法法則，把有理數的除法轉化為乘法；最后給出有理數的乘方法則，把有理數的乘方轉化為乘法.乘方有兩種逆運算：已知指數和冪，求底數是開方運算；已知底數和冪，求指數是對數運算.乘方的兩種逆運算都可轉化為乘方運算.

5 轉化與數學解題思想的關系

數學解題思想是解題者在解題活動開始時應該持有的思想，是對解題依據、解題原則、解題策略、解題方法、解題途徑等解題規律的本質認識，而在數學知識及其發展過程中蘊含的思想是解題終端的思想——數學思想.從數學方法論的角度來看，轉化與化歸是最高層次的解題方法，是對數學解題規律的本質認識，是數學解題最根本的指導思想.因此，數學解題思想就是轉化與化歸思想.

6 轉化與其他數學思想之間的關系

數學思想揭示了基礎知識的本質屬性和內在聯系.轉化與化歸思想不是對某一具體數學知識的本質認識，而是對數學解題規律的本質認識.轉化與化歸思想與其他數學思想相比，抽象度更高，概括性更強，適應面最廣，幾乎適用于所有的數學題目，貫穿于數學解題過程與數學研究的始終，是數學解題最根本、最重要、最普遍的指導思想，是數學解題的根本遵循，數學問題的解決都離不開轉化與化歸.轉化與化歸思想與其他數學思想共同決定數學解題的原則、方向、策略、方法等，是其他數學思想的統領，是一切數學思想方法的核心、精髓和靈魂.

中學數學中，基本的數學思想有：①函數思想；②方程（包括不等式）思想；③參數思想；④幾何直觀思想；⑤數形結合思想；⑥概率思想；⑦統計思想;⑧微分積分思想；⑨算法思想.

從數學解題實踐的過程來看，用數學思想指導解題實踐的過程中都體現了轉化與化歸思想.

比如，運用幾何直觀思想解題有兩個層次：①將幾何問題或其他復雜、抽象的數學概念、數學結構、數學關系、數學問題等轉化為直觀的圖形、圖表、表格等；②運用幾何圖形和幾何語言去分析、表達、思考數學對象之間的關系，從而使抽象的問題轉化為形象、直觀、具體的數學問題.

7 轉化與數學解題策略之間的關系

策略是指導行動的謀略.數學解題策略是在數學解題思想、數學思想的指導下，為了實現解題目標而采用的謀略，是數學解題思想轉化為解題操作的橋梁，都具有轉化功能.

中學數學中最常用的數學解題策略有以下六種：

模式識別策略：把問題進行必要的變形變換，轉化為某個熟知的模式，從而使問題得到解決.

順推逆推策略：通過順推或逆推尋找問題的中途點，把問題轉化為幾個簡單的問題，從而使問題獲得解決.

輔助元素策略：通過引入輔助元素，如輔助線、輔助面、輔助函數、輔助方程、輔助命題等把問題轉化為熟知的基本問題，從而使問題得到解決.

語言轉換策略：通過語言轉換，改變問題的情境，把問題轉化到熟知的問題情境中加以解決.

分而治之策略：把問題分解為前后相互聯系的幾個小問題，或者把問題的全域進行恰當的分類，在各子域上分別加以解決.

正難則反策略：當正面解決問題比較困難時，考慮從問題的反面入手，從而使問題得到解決.

8 轉化與數學方法之間的關系

數學方法是指在數學解題思想、數學思想、數學解題策略的指導下，用于解決某一類特定問題所采取的固定的轉化手段、措施、程序、套路，都具有轉化功能.

比如，反證法是把證明AB的問題轉化為證明它的等價命題：（A∧B-）（R∧R），從而斷定AB成立.反證法是數學家最精良的武器之一.

9 轉化與數學解題規律之間的關系

研究表明，高考題的解題規律是將問題轉化為課本上的題或歷年的高考題.中學數學教科書中有十幾條轉化線，這些都需要教師和學生熟練掌握的解題規律.

10 當前數學教學中存在的主要問題

當前，數學教學效率低下、學生解題能力不強的重要原因之一，是部分教師對數學解題思想、數學思想、解題策略、解題方法、解題規律的研究不深，理解膚淺；在解題教學過程中，教師不能站在數學解題思想、數學思想、解題策略、數學方法的高度指導教學，只見樹木，不見森林，指導性不強.數學解題思想、數學思想、解題策略、數學方法是數學的“精氣神”.只有熟練掌握了這些內容的教學，才是高質量的教學.這是由于數學解題思想幾乎適用于所有的題目，數學思想、解題策略適用于許許多多的題目，數學方法只適用于一些特定的題目.只有熟練掌握了這些內容，才能由點到線，由線到面，由面到體，把數學知識編織成立體網絡，才能使學生真正理解數學知識（包括數學習題）之間的有機聯系，形成完善的知識結構，減輕記憶負擔，提高解題能力.那種大搞題海戰術，試圖通過大量刷題來掌握數學知識、領悟數學思想、把握解題規律、提高解題能力的教學是高耗低效的教學.

綜上所述，轉化與化歸是對數學解題規律的本質認識，是數學解題最根本的指導思想.數學知識是實施轉化的理論依據，數學思想是實施轉化的指導思想，化生為熟實施轉化的基本原則，解題策略是實施轉化的行動謀略，數學方法是實施轉化的固定手段.因此，熟練掌握轉化與化歸思想是數學教學的基本任務之一，

充分暴露化歸的思維過程是數學教學的基本原則之一，更是克服題海戰術，走向高效教學的必經之路.