解析幾何客觀試題求解中的一般觀念

具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合謂之數學學科核心素養，集中體現在學習和應用數學過程中所持的數學學科一般觀念.一般觀念是對數學學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本思維策略和基本數學思想.高考備考的課堂教學中，結合具體試題，引領學生在明確考查內容和要求的基礎上，進一步凝練相關學科一般觀念，有助于學生學科核心素養的有效發展.下文以2023與2024年高考全國卷中的解析幾何客觀試題為例，結合試題特征，提煉出包括“概念觀、構圖觀、轉化觀、嚴謹運算觀”在內的四種解析幾何學科一般觀念，旨在為解析幾何備考教學的效率提升提供一個參考視角.

1 課標要求及“考勢”

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下簡稱《課標》）中，“平面解析幾何”被置于選擇性必修課程，主題二，幾何與代數，第二單元.內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程.《課標》要求幫助學生學會運用代數的方法進一步認識圓錐曲線的性質及它們的位置關系；運用平面解析幾何的方法解決簡單的數學問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.重點提升學生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養.

數學高考全國卷中，三道客觀題，一道解答題，是解析幾何內容常見的設置形式.客觀試題除具有“簡明扼要、信息豐富、涵蓋廣泛、靈活多變、解法多樣”等一般數學客觀題的基本特征外，還有著“重概念、尚推理、無圖化、巧運算”等獨有特征.這樣的試題特征使得概念觀、構圖觀、轉化觀、嚴謹運算觀在問題解決過程中有著不容忽視的強大力量.它們無法在“題型+套路”的機械刷題中獲得，只有在數學學習和研究過程中不斷體會、反思、凝練、構建而來.

2 與解析幾何客觀試題相關的一般觀念

2.1 概念觀

數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！數學解題中，概念最有力量，這一觀念在解析幾何客觀試題的求解中尤為關鍵.概念及其所蘊含的方法和思想本來就是解析幾何客觀試題考查的重點.解析幾何客觀試題求解過程中，從概念出發，基于概念的內涵和外延，借助概念直觀的幾何背景，理解、分析、解決問題的思維策略叫做概念觀.

概念觀引領下，結合雙曲線對稱性，在直角三角形AF1F2中，借助雙曲線概念及勾股定理，求出a=4，c=6，進而利用離心率定義即可解決問題.

2.2 構圖觀

解析幾何的研究對象是幾何圖形，研究方法為代數法，這一學科特征決定了代數運算在問題求解中舉足輕重，而圖形作用在這一理念下常被弱化.舍棄圖形幾何性質的深度挖掘，追求程序化代數運算的現象，在解析幾何問題的求解中司空見慣.值得關注的是，解析幾何的研究對象是幾何圖形，依據問題情境，作出形象、直觀且能夠揭示問題本質的圖形，對解析幾何客觀題的求解至關重要.在圖形的助力下，幾何要素才能得以彰顯，幾何性質才能被充分挖掘，所學知識才能被充分調用.積極作圖、研圖、用圖的“構圖觀”在解析幾何的備考中值得關注.

試題涉及兩曲線，關系復雜，條件冗長，如果沒有恰當圖形的輔助，很難厘清表象背后的問題本質，依據題設條件，構建圖3所示幾何圖形，以打開問題解決的思路.

2.3 轉化觀

轉化與化歸是數學問題解決的基本思想.解析幾何客觀試題的特征，決定了其解決過程中轉化思維有著自身的特殊性.最顯著的是圖形幾何特征與數量關系的相互轉化，即圖形特征和方程特征之間的關聯.雖然解析幾何客觀試題求解中代數運算非常重要，但運算過程中需時刻關注運算表達式的幾何意義是什么，充分挖掘圖形的幾何特征并恰時恰點滲透到代數運算中去，同時關注代數運算結果所反映的圖形的幾何特征，二者兼顧，時刻轉化，才能使數與形相得益彰.當然，常見的熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、具體化、類比化也是解決這類問題常見的轉化觀念.

2.4 嚴謹運算觀

《課標》把平面解析幾何解決問題的基本過程闡述為：根據具體問題情境特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題特點，用代數語言把幾何問題轉化為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索問題思路；運用代數方法得到結論，給代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.這樣的界定明確了解析幾何的研究對象、研究策略和研究手段.基于研究對象我們提出了概念觀和構圖觀，聚焦研究策略提出了轉化觀，若關注解析幾何的研究手段，則“嚴謹運算觀”必不可少.代數運算是解決解析幾何問題的基本手段，解析幾何客觀題的求解當然也不例外.結合客觀試題的特征，嚴謹運算觀更關注借力幾何直觀、注重系統分析、重視比較優化、扎根方程思想、遵循等價轉化、倡導路徑自然等方面.

拋物線與圓關聯的綜合問題，需在構圖觀、概念觀、轉化觀基礎上，借助坐標法思想，進行詳盡的代數運算才能對四個選項的正誤作出判斷.

概念觀、構圖觀、轉化觀及嚴謹運算觀是契合解析幾何客觀試題特征，蘊含于解析幾何知識背后的思維策略和思想方法.它們對解析幾何客觀試題求解有著持續、穩定、有效的影響，是策略性知識.高考備考的課堂教學中，聚焦學科一般觀念，遠離“題型+技巧”，是一種值得嘗試的既“育分”又“育人”的有效之舉.