“數(shù)”“形”切入，多解思維

平面向量是“數(shù)”與“形”聯(lián)系的典范模型，是二者的和諧統(tǒng)一體．在破解平面向量問題時，經(jīng)常借助其“數(shù)”的性質(zhì)，從代數(shù)的角度進行運算處理；或借助“形”的特征，從平面幾何的角度進行直觀分析．因而，在破解平面向量的相關問題時，應結(jié)合題目條件，從“數(shù)”的性質(zhì)或從“形”的特征加以“兩面性”思維與分析，巧妙處理，實現(xiàn)多角度思維，多方法處理，多層面拓展．

1 問題呈現(xiàn)

此題以兩個確定的平面向量為問題背景，引入第三個平面向量，結(jié)合平面向量間關系的設置來確定平面向量的數(shù)量積的最值問題．具體破解時，可以從“數(shù)”的性質(zhì)角度，通過坐標法來分析；或從“形”的特征角度，通過幾何法來處理．

2 問題破解

點評：結(jié)合平面向量的“數(shù)”的性質(zhì)，建立平面直角坐標系，同方法1構(gòu)建向量c的軌跡方程，結(jié)合圓的標準方程的配方處理，通過數(shù)量積的坐標公式，借助柯西不等式來確定一次線性代數(shù)式的最值問題．

點評：結(jié)合平面向量的“形”的特征，將眾多的數(shù)學知識點加以合理交匯與融合．利用投影法處理平面向量中的數(shù)量積問題，關鍵就是合理構(gòu)圖，數(shù)形結(jié)合，綜合應用平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等相關知識．

3 變式拓展

點評：直接通過建立平面直角坐標系，結(jié)合坐標法來處理，通過點與圓的位置關系來確定相應的最值問題，比較簡單直接．當然也可以借助幾何法，數(shù)形結(jié)合來處理，具體可以參考以上問題的方法3．

點評：通過平面直角坐標系的建立與坐標法的應用，利用點的軌跡方程的確定，結(jié)合所求結(jié)論的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點的距離最大值問題，結(jié)合兩點間的距離來分析與處理，拓展思維，交匯知識．

4 教學啟示

根據(jù)平面向量獨特的性質(zhì)——既有“數(shù)”的性質(zhì)，又有“形”的特征，合理結(jié)合條件，挖掘平面向量的本質(zhì)內(nèi)涵，破解問題時可以從“數(shù)”的性質(zhì)或“形”的特征進行“兩面性”思維展開，全面拓展用“數(shù)”、解“數(shù)”思維，提高識“形（圖）”、用“形（圖）”能力，從而真正充分強化與實現(xiàn)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，以及代數(shù)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)在平面向量問題中的巧妙融合與創(chuàng)新應用．