方程場景，函數同構，不等式應用

摘要：同構思維與同構意識是破解數學問題中一種比較特殊的解題意識與技巧方法，特別對于解決一些指（數式）對（數式）混合問題.本文中結合一道含雙變元的方程條件下的大小判斷問題，借助代數式的恒等變形與同構意識的應用，利用指對同構法的應用來巧妙轉化，實現雙變元及含有雙變元的代數式的大小關系比較與判定，剖析變形與轉化技巧，以及同構意識的應用，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：方程；函數；不等式；同構；變式

涉及含有多變元（以雙變元為主）的指（數式）對（數式）混合問題（包括方程、函數或不等式等），是近年高考數學試卷中比較常見的一類綜合問題，問題設置變化多端，形式各種各樣，場景創新新穎，對考生的數學“四基”與“四能”的全面考查起到非常重要的作用.

而解決此類問題的基本指導思想，就是對相應的方程、函數或不等式進行恒等變形與轉化，合理分離變元，并進一步尋找等號或不等號兩邊所對應的代數式之間的結構特征，合理尋找共性或同型，巧妙構建函數或同構函數，借助新函數的構建與基本性質的應用等來分析與解決問題.

1 問題呈現

此題以含雙變元的方程為問題場景，進而判斷雙變元及其含有雙變元的代數式的大小關系，即對應的不等式成立問題.聯系方程與不等式之間的橋梁就是對應的函數，合理地構建與同構函數，借助函數的基本性質（以單調性為主）來轉化，是實現不等式判斷的主要依據.而如何合理構建與同構函數，就成為解決問題的一個關鍵點.

2 問題破解

點評：對于該問題的突破，以上三種方法中，從方法1的分類討論法，以及方法2與方法3的同構法，其基本思想方法都是依托題設條件中含雙變元的方程的等價變形，合理分離變元，并結合方程兩邊的代數式的結構特征加以恒等變形，為進一步構建函數或同構函數指明方向.

以上三種不同方法中，各方法之間又有一定的差異，構建函數或同構函數的差異，給解題思維的推進與解題過程的書寫提供不一樣的情景.無論哪種方法，都對此類問題的解題思維與技巧策略提出非常高的要求，也對考生的邏輯推理與數學運算等方面的核心素養進行必要的考核.

3 變式拓展

3.1 同源變式

依托同類型場景，結合含雙變元的方程這一問題場景，合理借助同構思維來分析與處理，進而判斷雙變元及其含有雙變元的代數式的大小關系，得到對應的變式問題.

3.2 方法變式

依托同構函數思維來解決多變元場景下的大小比較問題，成為指（數式）對（數式）混合問題比較常見的一類基本問題，進而得到對應的變式問題.

4 教學啟示

4.1 同構技巧，規律總結

4.2 思維拓展，能力提升

對于解決涉及含有多變元（以雙變元為主）的指（數式）對（數式）混合問題（包括方程、函數或不等式等），基于參變分離或變元分離，依托指（數式）對（數式）之間的等價變形，合理尋找同型或共性，不同視角的等價變形或變形形式對應不同的同構函數形式，給同構函數創設豐富的形式，方式各異，殊途同歸.依托函數的構建或同構，合理變形與轉化，不斷增強創新意識、同構意識與創新應用，融合知識交匯，形成數學能力，培養數學核心素養.