思維與技巧比翼，幾何與代數融合

立體幾何中的位置、距離、角度等要素的最值（或取值范圍）問題，一直是高考中的基本考點與熱點問題之一.此類問題中，往往離不開動點的變化與應用，借助動點的變化情況來確定對應的位置、距離、角度等要素，為解決相應立體幾何中的最值（或取值范圍）問題提供條件.

此類立體幾何中的最值（或取值范圍）問題，可以交匯并融合眾多的知識點，具有較強的綜合性和技巧性，很好考查學生的數學基礎知識與基本能力，有較好的選拔性與區分度，成為考試中的一個重點與難點，備受各方關注.

1 問題呈現

此題以三棱錐為載體，已知一組對棱的長度和位置關系來創設場景，通過兩個不同平面內對應動點的變化情況，引起二面角的變化，進而確定對應二面角的余弦值的最小值.

借助立體幾何問題，巧妙融入平面幾何、平面解析幾何、三角函數、平面向量以及不等式等相關知識，實現不同知識點之間的交匯與融合，是一道集綜合性、創新性、應用性與交匯性的模擬題，值得好好品味與深入探究.

2 問題破解

點評：在該解法中，借助空間向量之間的關系與轉化，合理構建對應邊長之間的關系是解決問題的關鍵，也為問題的進一步解決提供條件.立體幾何的應用場景，綜合等面積法、余弦定理以及基本不等式的應用等，實現對應二面角余弦值的最小值的求解.該解法融合幾何思維與代數思維，綜合邏輯推理與數學運算等素養，協力合作來巧妙完成最值問題的探求.

解法2：軌跡法1.

點評：在該解法中，利用題設條件確定在各自己平面對應動點的軌跡問題，進而結合立體幾何中二面角的概念確定對應的角，綜合三角函數、余弦定理以及基本不等式的應用等，實現對應二面角余弦值的最小值的求解.巧妙引入角參，利用軌跡情況合理構建對應邊長的關系式，為利用余弦定理構建關系式，并通過基本不等式的應用來確定最值提供條件.

點評：在該解法中，通過“裁剪”展開降維策略，基于立體幾何中的空間角的構建，合理將空間幾何體中不同平面內的點的性質的“三維”問題，通過展開轉化，回歸到平面解析幾何的“二維”問題，利用平面解析幾何中橢圓、雙曲線的定義與方程，結合參數的引入與變形轉化，綜合基本不等式的應用，實現立體幾何問題的突破.由“三維”問題，從不同視角轉化為“二維”問題，實現問題的降維處理.

3 教學啟示

涉及立體幾何中的位置、距離、角度等要素的最值（或取值范圍）問題，基于動點的變化情況，正確剖析題目條件，把握問題的內涵與實質，借助“動”來合理轉化，巧妙化“動”為“靜”，引入參數或相關的變量，通過“靜”態思維，結合相關的函數或方程、三角函數、不等式、幾何直觀等來分析與應用，實現問題的巧妙解決.