一道不等式恒成立試題的破解

涉及含參的多變元（以雙變元為主）的不等式恒成立問題，是近年的高考數(shù)學試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一類綜合題.此類綜合題往往涉及函數(shù)與方程、函數(shù)與導數(shù)、不等式等模塊知識，而對于多變元（以雙變元為主）的任意變動，又無規(guī)律可循，因此較難處理.此類問題能力要求高，綜合性強，難度較大，往往以壓軸題的形式出現(xiàn).

1 問題呈現(xiàn)

此題以含參的雙變元不等式恒成立為問題場景，結(jié)合參數(shù)的取值范圍的確定來設(shè)置問題，實現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式等數(shù)學基礎(chǔ)知識之間的交匯與融合，全面考查考生的“四基”與“四能”.

而在具體解決問題時，對恒成立的不等式進行恒等變形與轉(zhuǎn)化，參變分離法是解決此類問題中最為常見的一種技巧方法；而換元思維與主元思維，也給問題的解決提供了更加廣闊的空間.

2 問題破解

點評：涉及含參不等式恒成立的問題，參變分離法是解決問題中最為基本的一種方法.合理的變換轉(zhuǎn)化與巧妙的等價處理，為參變分離提供條件，進而合理構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)思維，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等來分析與解決.利用參變分離法構(gòu)建函數(shù)時，有時要進行必要的整體換元處理等.

點評：涉及含參不等式恒成立的問題，特別是涉及多變量問題時，經(jīng)常可以采用和式、差式、積式、商式等進行整體思維與換元處理，統(tǒng)一變元，減少變量.換元法的根本目的就是減少變量的個數(shù)，使之成為單變量問題，為進一步構(gòu)建函數(shù)，并利用函數(shù)的基本性質(zhì)，以及函數(shù)與導數(shù)的綜合應用提供條件.

點評：涉及含參不等式恒成立的問題，若涉及變量比較多時，經(jīng)常可以采用主元法思維，以其中一個變量為主元，其他變量以及參數(shù)為次元，進而轉(zhuǎn)化為單變量問題，借助函數(shù)的構(gòu)建來轉(zhuǎn)化與應用，大顯神威.主元法的根本目的就是將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而利用函數(shù)的性質(zhì)解題.

3 變式拓展

依托含參的多變元不等式恒成立場景的創(chuàng)設(shè)，改變對應的不等式條件，以相關(guān)的形式加以合理變形與轉(zhuǎn)化，得到以下相應的變式問題.

4 教學啟示

涉及含參的多變元（以雙變元為主）的不等式恒成立問題，往往問題比較繁雜，而借助恒成立不等式的等價變形與轉(zhuǎn)化，為問題的切入與應用創(chuàng)造條件.在具體解題過程中，可合理進行參變分離，或借助整體思維進行換元處理，或依托多變元的主次關(guān)系進行主元思維應用等，進而為進一步構(gòu)建函數(shù)并利用函數(shù)的基本性質(zhì)來解決問題提供條件.這些都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路.

而涉及含參的多變元（以雙變元為主）的不等式恒成立問題，成為近年高考數(shù)學試卷中的熱門與難點問題之一，形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數(shù)學基本知識點比較多，對數(shù)學思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區(qū)分度.同時，借助此類綜合問題的考查與應用，可以很好考查學生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性與開拓性，養(yǎng)成良好的數(shù)學解題習慣，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).