直接推理應用，特殊函數構建

抽象函數是一類沒有給出具體函數解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數模型.抽象函數問題，自身具有較強的抽象性，問題創設新穎，形式構思巧妙，考查條件隱蔽.而近年新高考涉及抽象函數的試題以多選題的形式出現，可以更加全面地考查相關函數的概念和性質，同時還可以巧妙融合原函數與導函數之間的關系，將函數的圖象與基本性質（涉及定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等）集于一身，實現多個不同知識點之間的交匯與融合，是考查函數及其相關知識的良好載體，備受各類命題者青睞.

1 問題呈現

此題以兩個不同的抽象函數為問題背景，借助兩抽象函數所滿足的關系式以及相應導函數之間的關系來創設條件，進而判斷對應函數的奇偶性與周期性、導函數的奇偶性以及函數值之和等，全面考查函數的基本性質等綜合應用能力.

此類以多選題形式設置的抽象函數應用問題，整體難度不大，借助函數的基本模型，綜合函數的奇偶性、對稱性、函數求值等來切入與應用.常見的技巧方法往往包括兩大類：一類是直接法推理思維，通過抽象函數的基本概念與基本性質的應用來分析與判斷；二是特殊法思維，通過選取滿足條件的特殊函數（如正弦型函數與余弦型函數）來具體化處理，利用特殊函數的構建，結合各選項的信息來分析與處理.

2 問題破解

2.1 直接推理思維

點評：借助題中抽象函數以及對應的導函數之間的關系式，綜合抽象函數的基本概念、奇偶性、對稱性、周期性等相關基本性質與應用，合理推理與應用，進而確定對應抽象函數的基本特征，給問題的分析與判斷奠定基礎.特別要注意的是，在抽象函數的關系式的變形與推理過程中，要注意關系式的恒等變形以及變量的替換與應用等，利用條件與目標之間的聯系來合理變形與轉化.

2.2 特殊法思維

點評：依據兩個原函數、兩個導函數及其相互之間的關系，合理聯想到正弦型函數與余弦型函數及其導數之間的關系，合理配湊相應的系數，以特殊思維切入來構建特殊函數，使之吻合題設中抽象函數所滿足的條件，為進一步分析與判斷各選項的真假創造條件.特殊函數法的關鍵在于聯想到與題設相關的函數模型，合理配湊相應的系數使得特殊函數吻合題設中抽象函數滿足的所有條件.

3 變式拓展

4 教學啟示

抽象函數是函數模塊知識里的一個重點與難點，涉及抽象函數及其應用，以及原函數與導函數之間的交匯與融合問題，與之相關的問題在近三四年的新高考中都得以有效考查與應用.而涉及抽象函數及其綜合應用問題，可以很好地考查并正確區分出不同層次學生的數學思維與數學知識差異.整體來說對學生的數學運算、數學抽象、邏輯推理等方面的素養要求比較高.

此類問題的解決策略之一就是正確掌握科學推理法，利用抽象函數的關系式加以巧妙轉化與推理分析，這是解決問題的一種通法；而借助特殊法思維，通過特殊函數模型的構建，利用函數具體化這種方法是解決問題的一種“巧技妙法”，關鍵是要看關系式的結構結構和一些條件的加持，進而加以合理選取與特殊構建.