依托函數與導數應用，巧借切線不等式放縮

基于函數與導數的綜合應用，涉及函數或方程中的不等式恒成立以及相應的綜合應用問題，特別是與之相關的指數切線不等式ex≥x+1或對數切線不等式ln x≤x－1等，是函數的基本性質與綜合應用的升華，有助于問題的實質與內涵的理解與應用，成為解題中非常有用的一些相應的“二級結論”，對于問題的快捷切入、解題思路的優化、過程的簡化等都非常有效果，成為解決與之相關的函數、方程以及不等式等問題中常用的一些基本結論與性質.

1 問題呈現

此題以復雜的分式函數為問題場景，借助指數式與對數式的混合加以巧妙創設，進而確定相應函數的最小值.函數解析式的復雜性，直接分析處理比較困難，而直接利用重要不等式來放縮也無從下手，給問題的解決創造一定的難度.

解決此類問題的基本依據就是結合函數與導數的綜合應用，利用導數法來切入，通過函數的單調性判斷及極值、最值的確定來達到目的；而基于函數與導數的綜合應用，依托一些“二級結論”以及對應的性質，借助切線不等式來合理放縮，是在前者知識基礎上的優化與提升，更是解決此類問題中的首選之一.

2 問題破解

2.1 函數與導數思維

點評：在解決一些復雜函數的最值問題時，借助函數與導數的綜合應用，導數法是解決問題時最為常用的一種基本技巧方法，方法基本，思路常規，步驟固定.只是有時在處理此類問題時，由于函數解析式的復雜性導致求導運算量比較大，解題過程比較繁雜.而這里“隱零點”的確定是解決該問題的一個重點與難點，也是問題解決一個重要突破口.

2.2 切線不等式思維

點評：在解決涉及指數與對數混合求最值的問題時，經常可以考慮利用一些相應的“二級結論”以及對應的性質等，如這里借助切線不等式來合理放縮.而在具體操作時，可以根據具體情況，利用指數切線不等式ex≥x+1或對數切線不等式ln x≤x－1等加以巧妙放縮處理，從而優化解題過程，提升解題效益.

3 變式拓展

4 教學啟示

其實，指數切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立）或對數切線不等式ln x≤x－1（當且僅當x=1時等號成立）等相應的“二級結論”，是基于函數與導數的綜合應用的產物，也是對知識與應用的提升與升華，進而在學習與解題過程中不斷加以總結與巧妙應用的一些基本知識點.

依托這些常見的“二級結論”，對于優化一些小題（填空題或選擇題）的解題思路與解題過程等都是非常有益的.特別是一些常見的“二級結論”，以及與之相關的性質、結論等，適當掌握一些此類結論，對于解題有一定的促進與提升作用，可以在一定程度上促進數學基礎知識的理解與掌握，發散數學思維，優化數學習慣，培養良好的數學品質與數學核心素養等.