層層遞進巧設置，變換思維妙求解

高考中有關函數與導數的綜合應用問題，問題設置形式新穎多變，巧妙融合函數與方程、函數與不等式、函數與導數等眾多相關的知識，成為歷年高考數學試卷中的一大基本考點與熱點.下面以一道高考函數題為例進行剖析.

1 真題呈現

2 問題剖析

該題以雙變元的函數解析式為問題場景，設置了三個小問題.

其中，第（1）問通過已知一變元為定值的條件，結合導函數所滿足的不等式恒成立，利用分離變量來構建對應不等式，再通過求解代數式的最值來確定參數的最值問題，相對比較好處理，給大部分考生一個得分的機會.

第（2）小問是基于雙變元條件下函數所對應曲線的中心對稱問題，判斷其對稱中心，選取合適的方法與技巧來證明，是解決有關中心對稱圖形的證明的關鍵，使得整個問題既不天馬行空，又不落窠臼.

而第（3）小問，還是稍有難度，“端點效應”是高考數學全國卷2020年以來“老生常談”的一類基本考查類型，其中“必要性探路+充分性證明”也是2019年浙江卷中風靡全國的考點之一.

本題問題設置層層遞進，難度逐步上升，凸顯考試的選拔性與區分度，也是一道很好的“把關題”.

3 真題破解

3.1 第（1）問的解析

點評：根據導函數所對應的不等式恒成立，結合參數的分離構建不等式恒成立，進一步將問題轉化為確定對應關系式的最大值問題，解題目標明確，邏輯推理直接，數學運算基本.在此基礎上，結合代數關系式的結構特征，或利用基本不等式來合理放縮，或利用二次函數的圖象與性質來確定最值，都可以達到目的.

3.2 第（2）問的證明分析

點評：依托雙變元函數的解析式的結構特征，從而確定對應的對稱中心坐標，為進一步證明曲線的中心對稱創造條件.有關函數所對應的曲線的中心對稱圖形的證明，定義法是最為常見的一種技巧方法，也是考生在實際解題過程中常用的.本題也可以用平移圖象法和先猜后證法解決方法.平移法是基于對稱中心的確定而采用的一種特殊方法；先猜后證法是基于問題的分析與應用的一種基本思維過程，合理加以過程書寫與應用，比較契合思維過程.

3.3 第（3）問的解析

點評：依托充要條件“f（x）gt;－2當且僅當1lt;xlt;2”這一基本信息，合理加以變形與轉化，借助“端點效應”思維先確定變量a的值是解題的一個重要環節；而抓住充要條件場景下的應用問題，借助必要性探路確定變量的取值范圍，進一步通過充分性證明以保證推理分析的嚴謹性；或抓住條件應用，結合導函數的解析式，合理利用變量取值的分類討論來驗證不等式成立的條件，也是推理與分析過程中比較常用的一種方法.

4 教學啟示

4.1 夯實基礎，提升能力

利用導數研究含參函數的單調性與極值（最值）問題時，解決問題的本質就是通過導數運算，加以合理運算，利用題設條件中的單調性與極值（最值）信息進行合理轉化與邏輯推理，并通過參數的取值情況加以分類討論與合理判斷.含參函數的單調性與極值（最值）問題，重點考查學科核心素養中的邏輯推理與數學運算，體現了分類討論思想及分析問題解決問題的能力等，對于考查考生的“四基”與“四能”，以及數學關鍵能力與核心素養等方面都有很好的體現.

4.2 厘清思維，強化訓練

此高考題是函數與導數的綜合應用題，屬于多參數問題.解題的關鍵是厘清函數的結構，而具體解題時必須搞清楚邏輯.實際上，考慮到學生平時訓練得少，接觸得少，本題還是有較大區分度的.有效厘清解決問題的基本思維，合理強化訓練與應用，是強化基礎、提升能力等方面的一種基本方法.