數學建模思想融入高中函數模型教學的實證研究

摘要：隨著新課程改革的不斷深入，數學建模思想，特別是函數模型思想，作為一種重要的數學思想，已逐漸融入高中數學教學之中.受到諸多外部因素影響，數學建模思想并未廣泛應用于高中數學教學活動，這使得數學建模思想優勢難以體現.鑒于此，教師依托新課標積極開展高中函數模型教學活動，凸顯數學建模思想的重要作用，致力于為高中函數教學注入新鮮血液，促進數學建模思想的推廣應用，為提高高中生解決數學問題能力提供有效手段.

關鍵詞：高中數學；數學建模思想；函數模型教學；教學設計

函數模型是數學的重要分支，也是高中數學教學的核心內容之一.在傳統的高中函數模型教學中，教師過于注重公式和定理的灌輸，忽視了學生數學建模能力的培養.隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）的頒布，數學建模作為一種重要的教學方法已逐漸融入高中數學教學之中.［1］本文旨在通過實證研究，探討和分析數學建模思想融入高中函數模型教學的效果和影響，增強學生實踐能力.

1函數模型教學設計

1.1教材分析

函數作為高中數學知識體系的重要組成內容，貫穿于高中數學教學始終.函數知識是數學學習的重點和難點內容之一，對學生數學學習能力要求較高.其中，指數函數是最基本且最具代表性的函數，是幫助學生打好函數學習基礎的重要學習內容.因此，在指數函數學習中，有必要引入函數模型教學手段，加強對函數的研究與解決，增強學生函數學習技能.

《指數函數的性質與圖象》是人教B版《普通高中教科書數學必修第二冊》中的內容，這一知識點的學習是在學生已學習過函數概念與性質、實數指數冪及運算等知識點的基礎上，對指數函數的概念、性質、圖象等進行系統性學習，為學生綜合性發展提供重要依據.教師在指數函數性質與圖象教學中，能夠增強學生對函數圖象、代數運算方法的應用能力，使學生在探索函數性質的基礎上建構函數模型思維，闡明數學建模思想的重要作用，為學生形成數學學科核心素養提供有效路徑.

1.2學情分析

教師在開始函數模型的教學設計之前，需要對學生的情況進行分析.根據新課標的要求，學生已經掌握了一定程度的基礎函數知識，包括代數、幾何和初中階段的函數概念.然而，學生在函數模型的理解和應用上仍存在一定困難，尤其是在將實際問題轉化為函數模型的能力上.因此，教師在教學設計中需要考慮如何幫助學生建立函數模型的概念，提高他們應用函數模型解決實際問題的能力.

從知識基礎層面分析，學生已具備函數概念知識素養，能夠通過數學語言、數學方法了解他們在學習過程中遇到的問題和困難，以及他們對數學建模思想的認識和接受程度.

從認知能力層面分析，學生在理解知識點時存在認知偏差，不利于提高對知識點的分析與解讀能力.通過本節課教學，教師以指數函數的性質與圖象的問題解決，激發學生對函數知識點的求知欲，提高學生的函數學習綜合能力.

1.3教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）知識與技能目標：讓學生理解函數模型的概念，掌握函數模型的基本性質和特點.

（2）過程與方法目標：培養學生將實際問題轉化為函數模型的能力，提高他們應用函數模型解決實際問題的能力.在研究指數函數y=2x 和y=12x的圖象和性質后，增強學生的高階思維能力，發展數學建模思想.

（3）情感態度與價值觀目標：培養學生通過數學語言和符號表達函數模型的能力，提高他們的數學表達能力，使其在進階思維轉化中培養數學建模思想，為學生強化數學學習能力提供重要依據.

1.4教學重難點

本節課的教學重難點如下.

（1）教學重點：培養學生的數學建模能力，引導學生了解函數模型的概念和基本性質.

（2）教學難點：幫助學生掌握將實際問題轉化為函數模型的方法和技巧，培養學生應用函數模型解決實際問題的能力.

1.5教法分析

通過將數學建模思想融入高中函數模型教學的效果，筆者發現結合數學建模的教學策略可以有效提高高中函數教學的質量和學生的數學素養，激發學生的學習興趣，調動學生主動學習意識，從而培養學生模型建構思維，提升學生主動建構模型的能力.［2］同時，探究指數函數知識點時，教師應體現以學生為主體的思想，為學生提供良好的學習環境，培養學生自主學習能力，促使學生具備深入思考、系統解讀、小組合作、互動學習等綜合能力.在講解函數模型的概念時，通過具體的例子讓學生理解函數模型的基本性質和特點，幫助學生建立函數模型的概念.

2函數模型的教學過程

2.1創設情境，導入新知

例1細胞經過分裂，1個分2個，2個分4個，4個分8個，以此類推. 1個細胞經過x 次分裂后，得到的細胞個數y 與分裂次數x 之間存在怎樣的關系.

教師要求學生獨立思考，再進行小組合作學習，最終獲得學習結果.教師選擇兩個學習小組進行作答.

預設答案：第一次細胞分裂，個數為2，2=21；第二次細胞分裂，個數為4，4=22；第三次細胞分裂，個數為8，8=23，以此類推，第x次細胞分裂，個數為2x ，y=2x.

師：我們之前學習了哪些函數？它們有什么共同特點？

生1：我們學過一次函數、二次函數等，它們的共同特點是可以表示兩個變量之間的關系.

師：這些函數在實際生活中有哪些應用？

生2：一次函數可以表示直線，應用于測量、建筑設計等；二次函數可以表示拋物線，應用于物理、工程等領域.

師：同學們總結得很好.今天我們將學習一種新的函數模型——指數函數.請大家認真觀察指數函數的定義式y=ax（a為常數且a>0，a≠1）.

【設計意圖】通過“細胞分裂”情境，引導學生思考如何用數學模型來描述實際問題，以此來激發學生的學習興趣，提高學生的學習積極性.這樣的情境教學很好地詮釋了高中數學的跨學科價值，幫助學生感受數學在不同學科中的作用，鍛煉學生將數學知識與其他學科緊密融合的能力，由此引導學生在實際問題中建構模型抽象思維，為導入指數函數相關知識點做好鋪墊.

2.2自主探究，模型建立

教師引導學生總結指數函數的概念和性質.

（1）指數函數的解析式為y=ax（a為常數且a>0，a≠1）.

（2）指數函數的單調性：當a>1時，函數在定義域上單調遞增；當0<a<1時，函數在定義域上單調遞減.

（3）指數函數的圖象特點：函數圖象經過第一、二象限，過定點（0，1）.

師：請大家用幾何畫板驗證一下指數函數的單調性.

學生自主探究，教師巡回指導.

生3：我發現，當a>1時，指數函數在定義域上單調遞增；當0<a<1時，指數函數在定義域上單調遞減.

師：非常好，同學們已經掌握了指數函數的基本性質.下面，我將舉例說明指數函數在實際生活中的應用.

【設計意圖】教師通過具體的例子講解函數模型的概念，讓學生理解函數模型的基本性質和特點，引導學生思考如何用數學模型來描述這些問題，并從中分析一些具體的實際問題，引導學生將問題轉化為函數模型，并通過數學語言和符號表達出來.［3］

2.3總結性質，分析模型

教師總結：函數是數學中的一個重要概念，它們廣泛應用于各個領域. 指數函數具有獨特的性質和應用，讓學生了解指數函數的基本形式y=ax（a為常數且a>0，a≠1）.

師：研究指數函數y=2x的性質，并繪制出它的函數圖象.

教師通過提問的方式引導學生結合已學過的函數知識，如一次函數、二次函數等，繪制y=2x的圖象.

預設答案：學生通過列表（見表1）、描點繪制圖象（如圖1）.

教師引導學生通過觀察圖象總結指數函數y=2x 的性質.

定義域：R.值域：（0，+∞）.奇偶性：非奇非偶函數.單調性：在R上單調遞增.

師：請同學們類比指數函數y=2x 的性質的研究過程，研究指數函數y=12x的圖象和性質.

預設答案：學生通過列表（見表2）、描點繪制圖象（如圖2）.

教師引導學生通過觀察圖象總結指數函數y=12x的性質.

定義域：R.值域：（0，+∞）.奇偶性：非奇非偶函數.單調性：在R上單調遞減.

師：觀察指數函數y=2x和y=12x的圖象，你能發現什么？

預設答案：學生通過描點，將y=2x和y=12x的圖象繪制到同一個平面直角坐標系中（如圖3）.觀察圖象總結如下性質.

（1）底數互為倒數的指數函數，它們的圖象關于y 軸對稱.

（2）兩個指數函數圖象均過定點（0，1），因為任何非零實數的零次冪都為1，所以（0，1）為指數函數圖象上的定點.

【設計意圖】學生掌握了冪函數的基本性質和應用后，教師準確地總結一般指數函數的性質，增強學生的數學建模能力，進而了解指數函數的形成過程，增強學生的數學認知能力.

2.4應用模型，鞏固提升

例2下列各函數中，哪些是指數函數？

（1）y=2x；（2）y=x2；（3）y=-2x；

（4）y=（-2）x；（5）y=2x+1；（6）y=2-x.

【設計意圖】教師通過例題訓練學生的數學概念解讀能力，使學生能夠準確把握指數函數模型的特點：①指數的位置必須是自變量x；②指數函數的系數是1；③指數函數的底數必須是大于0且不等于1的常數.

2.5課堂練習，作業小結

教師發放探究任務單，要求學生獨立探究以下問題.

（1）什么是函數模型？

（2）如何構建函數模型？

（3）函數模型在實際生活中有哪些應用？

生：函數模型是用來描述兩個變量之間關系的數學模型，構建函數模型的方法有解析式法、圖象法、表格法等.函數模型在實際生活中有廣泛的應用，如線性規劃、最優化問題、概率論等.

教師補充總結：函數模型是數學中的重要工具，它可以幫助我們更好地理解和解決實際問題.掌握函數模型的構建方法和應用技巧對于同學們今后的學習和工作都有很大幫助.

【設計意圖】教師應用已學知識，培養學生的質疑能力，引導學生在解決實際問題中應用指數函數，增強學生構建函數模型的能力，深化開展對高中指數函數學習活動，切實提高學生的數學綜合學習能力.

3結語

新課標背景下，高中數學建模思想的滲透能夠提高數學課程教學質量與效率，能夠提高學生實踐學習綜合能力，為培養高中生數學學科核心素養提供有利依據.高中數學建模思想貫穿到函數教學中，能夠增強學生對知識點的分析、推理、討論、實踐等能力，促使學生在建模思想下提高綜合學習能力，為學生綜合性發展提供重要依據.在上述教學案例分析推理中，教師與學生建立有效溝通，了解學生對數學建模思想的認知情況，幫助學生通過自主學習過程，增強實踐學習能力，進而掌握指數函數概念、性質、圖象等知識點，彰顯函數模型教學的有效性作用.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］劉天明.高中數學建模教學策略的實踐研究——以三角函數模型為例［J］.數學之友，2022（22）：26-28.

［3］陳國鴻.模型思想視角下高中函數教學探究［J］.中學課程資源，2022（3）：9-11.