鏈接初、高中知識，發散數學基本思維

摘要：模塊融合一直是高考中常見的考查形式，解三角形問題的創設可以巧妙融合初、高中階段中的不同知識與思想方法，以及高中階段中的不同知識模塊，形成良好的知識交匯與綜合應用.本文結合一道模擬題，從初、高中階段的不同思維視角切入，發散思維，多點突破，變式拓展，引領并指導復習備考與解題研究.

關鍵詞：解三角形；平面幾何；向量；變式

在新教材中，解三角形知識是平面向量模塊中的一類基本應用問題，它能夠串聯起初中與高中階段的數學基礎知識，構建初中與高中階段不同知識模塊之間的聯系.在教學過程中，教師應將平面幾何與立體幾何、函數與方程、三角函數、平面向量、不等式等相關知識融合起來，落實《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“在知識交匯點處設題”的指導思想.［1］解三角形是高考命題中的一個基本考點，在選擇題、填空題與解答題中均有出現，備受各方關注.

1問題呈現

問題1^^［2024年廣東省佛山市普通高中教學質量檢測（一）高三數學試卷第16題］&&已知△ABC中，AB=2BC=2，邊AB上的高與邊AC上的中線相等，則tanB=.

此題以三角形為問題場景，利用三角形中兩邊的確定，以及對應邊上的高與中線的相等關系求三角形中兩邊的夾角的正切值.該題的題目簡單易懂，難度比較適中.

在解決具體問題時，學生應合理剖析題目所給條件，由“數”轉“形”，“數”與“形”結合，利用平面幾何圖形的直觀性，合理運用相關的基礎知識，有目的地、有方向地分析與解決問題.

這個過程中，學生可以借助平面幾何思維、解析幾何思維、平面向量思維以及解三角形思維等進行思考.其中平面幾何思維的應用，基本維持在初中知識階段就可以實現問題的突破，這也是回歸初中階段知識，鏈接高中階段知識的一個重要知識點.［2］

2問題破解

2.1平面幾何思維

方法1：面積法.

解析：如圖1所示，設邊AC上的中線為BD，邊AB上的高為CE=h.

依題知，S△ABC=2S△ABD=2S△BCD，則有12×AB×h=2×12×AB×BD×sin∠ABD=2×12×BC×BD×sin∠CBD.

結合AB=2BC=2，BD=CE=h，可得1=2×sin∠ABD=sin∠CBD，則有∠ABD=30°，∠CBD=90°.

所以∠ABC=120°，則tanB=tan120°=-3.故答案為-3.

解后反思：學生根據題設條件中三角形的高，合理聯想到三角形的面積公式；根據條件中三角形的中線，合理聯想到三角形的面積相等，從而利用三角形的面積公式進行計算.

方法2：相似法.

解析：如圖2所示，設邊AC上的中線為BD，邊AB上的高為CE，延長AB至點F，使得BF=AB，連接CF.

因為D為AC的中點，BF=AB，所以BD是△ACF的中位線，可得CF=2BD.

由CE=BD，可知CF=2CE，則有∠ECF=60°.

由于AB=BF=2BC，CF=2CE，故△BCF∽△CEF，從而∠CBF=∠ECF=60°.

tanB=tan120°=-3.故答案為-3.

解后反思：學生根據題設條件中三角形的中線，與中點相對應，合理聯想到三角形的中位線，通過構建兩個三角形中對應邊長的比例關系，借助三角形相似的判定與性質來確定對應角的值，從而得到答案.

方法3：勾股定理法1.

解析：

如圖3所示，

設邊AC上的中線為BD，邊AB上的高為h，取AB的中點E，連接DE，過點D作DH⊥AB，垂足為H，結合邊AB上的高與AC邊上的中線相等，可得BD=h.

由三角形的中位線性質可知DE=12，結合比例性質可知DH=12h.

在Rt△DHB中，BD=h，DH=12h，可得HB=32h，∠ABD=30°.

在Rt△DHE中，利用勾股定理，有EH=14-14h2.

EH+HB=14-14h2+32h=1，解得h=32，則有DE2+BD2=EB2，則知∠EDB=90°.

∠DBC=∠EDB=90°，所以tanB=tan120°=-3.故答案為-3.

方法4：勾股定理法2.

解析：如圖1所示，設邊AC上的中線為BD，邊AB上的高為CE=h，設BE=x.

在Rt△CEB中，利用勾股定理，有x2+h2=12①.

在Rt△CEA中，利用勾股定理，有（2+x）2+h2=AC2.

利用三角形的中線定理，可得AC2+4BD2=2（AB2+BC2），即（2+x）2+h2+4h2=10 ②.

由①和②消去參數h并整理，可得4x2-4x+1=0，解得x=12，可得h=32.

則有

∠CBE=60°，可得∠ABC=120°，則tanB=tan120°=-3.故答案為-3.

解后反思：學生根據題設條件中三角形的中線、三角形的高，利用中位線定理以及直角三角形中的勾股定理等，構建對應的關系式，通過對應角的求解來確定對應的角的值，從而得到答案.

2.2解析幾何思維

方法5：坐標法.

解析：如圖4所示，以點B為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，不妨設點C在x軸上方.

B（0，0），A（-2，0），C

（-cosB，sinB），此時邊AB上的高為sinB.

因為D為AC的中點，所以D-1-12cosB，12sinB.

結合邊AB上的高與邊AC上的中線相等，可得sin2B=-1-12cosB2+12sinB2.

結合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

結合B∈（0，π），得B=2π3，所以tanB=tan2π3=-3.故答案為-3.

解后反思：學生根據題目結論所求的三角形對應角的三角函數值，回歸三角函數定義，合理聯想到平面直角坐標系以及對應點的坐標，利用線段的中點以及線段之間的距離相等等知識，構建關系式來求解三角函數方程，從而得以確定對應的角以及對應的三角函數值.

2.3平面向量思維

方法6：向量法.

解析：設邊AC上的中線為BD，則有BD=12BA+12BC，可得|BD|2=12BA+12BC2=14|BA|2+14|BC|2+12BA·BC=54+cosB.

邊AB上的高h=BCsinB=sinB，結合邊AB上的高與邊AC上的中線相等，可得sin2B=54+cosB.

結合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

結合B∈（0，π），可得B=2π3，所以tanB=tan2π3=-3.故答案為-3.

解后反思：教材中解三角形問題是平面向量的一個基本應用，學生根據題設條件，構建關于中點的向量表達式，利用向量的平方和數量積公式加以變形與轉化，成為求解三角函數方程，進而得以確定對應的角以及對應的三角函數值.向量法的應用，也為問題的進一步拓展與提升提供條件.

2.4解三角形思維

方法7：余弦定理法.

解析：設邊AC上的中線為BD，由余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=5-4cosB.

利用三角形的中線定理，可得AB2+BC2=2·（AD2+BD2），即214AC2+BD2=5，整理可得BD2=54+cosB.

邊AB上的高h=BCsinB=sinB，結合邊AB上的高與邊AC上的中線相等，可得sin2B=54+cosB，結合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

結合B∈（0，π），可得B=2π3，tanB=tan2π3=-3.故答案為-3.

解后反思：學生根據題設條件中三角形的兩邊與所求的夾角的三角函數值，合理聯想到解三角形中的余弦定理，利用余弦定理構建對應的關系式；通過三角形的中線定理進一步構建關系式，得到對應中線的表達式；利用兩線段相等的條件，構建關系式來求解三角函數方程，進而得以確定對應的角以及對應的三角函數值.

3問題改進

分析問題1的解析過程可以發現，條件只要滿足“AB=2BC”即可進行變形、解題.新的問題如下.

問題2已知△ABC中，AB=2BC，邊AB上的高與邊AC上的中線相等，則tanB=.

答案為-3.具體的解析過程與問題1的解答過程基本一致.

4變式拓展

4.1同階變式

根據問題1的解析過程，可以對問題的設問方式加以不同層面的設置，得到對應的同階變式問題.

變式1已知△ABC中，AB=2BC，邊AB上的高與邊AC上的中線相等，則角B=.

答案為120°.

變式2已知△ABC中，AB=2BC，邊AB上的高與邊AC上的中線相等，則sinB=.

答案為32.

變式3已知△ABC中，AB=2BC，邊AB上的高與邊AC上的中線相等，則cosB=.

答案為-12.

以上三個變式問題，雖然設問的方式不同，但與問題1的內涵基本吻合，考查的知識點與思想方法也基本相同.

4.2高階變式

進一步對問題進行一般化處理，由特殊問題轉化為一般性問題，得到對應的高階變式問題.

變式4已知△ABC中，AB=λBC（λ>1），邊AC上的中線長是邊AB上的高的λ2倍，則tanB=.

解析：設AB=λBC=λt（λ>1），設邊AB上的高為h，則邊AC上的中線BD=λh2.

所以2BD=BA+BC，4|BD|2=（BA+BC）2=|BA|2+|BC|2+2BA·BC，即λ2h2=（λ2+1）t2+2λt2cosB.

邊AB上的高h=BCsinB=tsinB，代入上式，有λ2t2sin2B=（λ2+1）t2+2λt2cosB.

結合sin2B+cos2B=1，整理可得λ2cos2B+2λcosB+1=0，解得cosB=-1λ.

結合同角三角函數基本關系式，可得sinB=λ2-1λ.

tanB=sinBcosB=-λ2-1.故答案為-λ2-1.

該變式中，當λ=2時，就是原來的問題2，此時tanB=-λ2-1=-3，與原問題相吻合.

5教學啟示

5.1“數”與“形”的融合，化歸與轉化應用

解三角形問題的情境應用，結合了初、高中階段中的不同數學基礎知識，自然融入了不同數學思想方法與技巧策略等.教師引導學生借助“數”的內涵，進行數學運算，回歸“形”的實質，通過“數”與“形”的融合形成統一的數形結合的綜合體.

5.2回歸平面幾何，拓展思維方式

在解三角形問題中，教師應引導學生借助已學的定理、公式等實現三角形中對應邊與對應角的轉化與應用，同時巧妙回歸平面幾何圖形的直觀表達，在解題中鏈接起初中的平面幾何知識與高中的解三角形知識，利用數形結合思想來處理解三角形問題，實現初、高中知識間的交匯與融合，全面拓展學生的數學思維方式與解題策略.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］張曉丹.回歸平面幾何，實現完美突破——一道解三角形題的解決［J］.數學之友，2023（15）：65-66+70.