巧“一題多解”，妙“一題多變”

摘要：曲線的公切線問題，是近年高考中頻繁出現的一類熱點考題，它涉及知識面廣，融合度高.本文從一道兩個函數的公切線問題入手，探尋解決此類問題的技巧與方法，并進行合理變式探究，深挖問題的內涵與實質，旨在引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：函數；曲線；公切線；導數

曲線的切線問題是基于導數的幾何意義與平面解析幾何等相關知識的融合，符合高考命題“在知識交匯點處設題”的原則，一直是高考中比較常見的一類重點與熱點問題.涉及兩條及以上曲線的公切線問題，新穎度高，創新性強，背景簡單易懂，形式復雜多變，求解形式多樣，能夠有效考查學生的“四基”，突出學生的“四能”等，凸現試題的選拔性與區分度，倍受各方關注.

1問題呈現

（多選題）已知函數f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直線l，使得l是曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公切線，則實數a的取值可能是（）.

A. 13

B. 12

C. 2

D. 3

2解題策略

涉及兩條曲線的公切線問題，最為常用的方法就是利用導數法.［1］利用導數法解答兩條曲線的公切線問題的基本步驟如下.

（1）運用求導法則和公式對兩條曲線的方程y=f（x），y=g（x）進行求導.

（2）若公切線在兩曲線y=f（x），y=g（x）上的切點坐標分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則y1=f（x1）①，y2=g（x2）②.

（3）根據導數的幾何意義得出兩曲線的切線斜率的關系式為f′（x1）=g′（x2）③.

（4）根據①②③建立關于x1，x2的方程組.

（5）根據直線的點斜式方程為求得公切線的方程y-y1=f′（x1）（x-x1）或y-y2=g′（x2）·（x-x2）.

3問題破解

方法1：直接法1.

設直線l為曲線f（x）=lnx在點（x1，f（x1））處的切線，由f（x）=lnx，可得f′（x）=1x，則f′（x1）=1x1 ，可得直線l的方程為y-lnx1=1x1（x-x1），即y=1x1 x+lnx1-1.

設直線l為曲線g（x）=xa（x>0，a≠0）在點（x2，g（x2））處的切線，由g（x）=xa，可得g′（x）=axa-1，則g′（x2）=axa-12，可得直線l的方程為y-xa2=axa-12（x-x2），即y=axa-12x+（1-a）xa2.

由題意可知1x1=axa-12，

ln x1-1=（1-a）xa2，由x1>0，x2>0，可知a>0.

由1x1 =axa-12，可得ln x1=-lna-（a-1）·ln x2，將其代入ln x1-1=（1-a）xa2，整理可得（a-1）·（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

令函數h（x）=（a-1）（lnx-xa）+lna+1，則函數h（x）在（0，+∞）上有零點.

令函數m（x）=lnx-xa，a>0，x>0，則m′（x）=1x-axa-1=1-axax.令m′（x）>0，解得0<x<1a1a ；令m′（x）<0，解得x>1a1a ，所以函數m（x）在0，1a1a上單調遞增，在1a1a ，+∞上單調遞減.

所以當a>1時，函數h（x）在0，1a1a上單調遞增，在1a1a ，+∞上單調遞減，且h1a1a=（a-1）·1aln1a-1a+lna+1=1a（1+lna）>0，而當x→+∞時，h（x）→-∞，故h（x）在（0，+∞）上恒有零點，從而a>1恒成立.

當a=1時，h（x）=1，無零點，不成立.

當0<a<1時，h（x）在0，1a1a上單調遞減，在1a1a ，+∞上單調遞增，且當x→+∞時，h（x）→+∞，則h1a1a=（a-1）1aln1a-1a+lna+1=1a（1+ln a）≤0，解得0<a≤1e.

綜上所述，實數a的取值范圍是（0，1e］∪（1，+∞），結合選項可知，實數a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

方法2：直接法2.

以上部分同方法1，消去x1并整理，可得（a-1）（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

兩邊同除以a-1，可得ln x2-xa2+1+ln aa-1=0①.

令函數h（x）=ln x-xa+1+ln aa-1，x>0，a>0且a≠1，則h′（x）=1x-axa-1=1-axax，令h′（x）=0，解得x=1a1a ，所以h（x）max=h1a1a=1a·ln1a-1a+1+ln aa-1=-1+ln aa+1+ln aa-1=1a-1-1a（1+ln a），且x→0+時，h（x）→-∞.

方程①有解，等價于h（x）max=1a-1-1a·（1+ln a）≥0，解得0<a≤1e或a>1.

所以實數a的取值范圍是（0，1e］∪（1，+∞），結合選項可知，實數a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

方法3：數形結合法.

當a>1時，結合x>0，可得xa>x>x-1≥ln x，結合此時函數f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0）的圖象可知兩曲線沒有交點，如圖1所示，顯然兩曲線有公切線，故選項CD正確.

當a=1時，如圖2所示，顯然兩曲線沒有公切線，其實本題中可以不用考慮a=1的情況，這是因為四個選項中沒有相應的a=1.

當0<a<1時，如圖3所示，根據兩函數圖象的特征，只要兩函數圖象有交點，兩曲線就有公切線；兩函數圖象沒有交點，兩曲線就沒有公切線.

只需要方程xa=ln x>0有解即可，則知x>1，對方程兩邊取自然對數有aln x=ln ln x，令ln x=t>0，則只需a=ln tt有解.

令函數g（t）=ln tt，t∈（0，+∞），則知g′（t）=1-ln tt2 .由g′（t）=0解得t=e，當0<t<e時，g′（t）>0，則函數g（t）在（0，e）上單調遞增；當t>e時，g′（t）<0，則函數g（t）在（e，+∞）上單調遞減.所以g（t）max=g（e）=1e，且當t→0時，g（t）→-∞；當t→+∞時，g（t）→0，

所以0<a≤1e.

綜上所述，實數a的取值范圍是0，1e∪（1，+∞），結合選項可知，實數a的取值可能是13，2，3，故選擇ACD.

4變式拓展

4.1題型變式

變式1已知函數f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直線l，使得l是曲線y=f（x）與曲線y=g（x）的公切線，則實數a的取值范圍是.

答案為0，1e∪（1，+∞）.

4.2深入變式

變式2^^（2024年四川省成都市高中畢業班摸底測試題）&&若一條直線與函數y=ln x和y=ex的圖象分別相切于點P（x1，y1）和Q（x2，y2），則（1-ey1）·（1+x2）的值為.

解析：設f（x）=ln x，g（x）=ex，則有f′（x）=1x，g′（x）=ex.

利用導數的幾何意義，可知函數y=ln x的圖象在點P（x1，y1）處的切線方程為y-ln x1=1x1（x-x1），即y=1x1x+ln x1-1，函數y=ex的圖象在點Q（x2，y2）處的切線方程為y-ex2=ex2（x-x2），即y=ex2x+ex2（1-x2）.

由于這兩條切線為同一條直線，則有1x1=ex2，

lnx1-1=ex2（1-x2），所以-x2-1=1x1（1-x2），解得x1=x2-1x2+1，又y1=ln x1，得1-ey1=1-elnx1=1-x1=1-x2-1x2+1=2x2+1.

（1-ey1）（1+x2）=2x2+1×（1+x2）=2，故填答案2.

變式3若函數f（x）=aln x（a≠0），g（x）=x2的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍是.

解析：設與函數f（x）=alnx相切的切點為（m，alnm），m>0，由f′（x）=ax，可得切線的斜率為f′（m）=am，a≠0，則切線的方程為y-alnm=am（x-m），即y=amx-a+alnm.

又切線y=amx-a+alnm與g（x）=x2也相切，則方程x2-amx+a-alnm=0有兩個相等的實數根，即有Δ=a2m2 -4（a-alnm）=0，分離參數有a=4m2（1-lnm），m>0.

設函數h（m）=4m2（1-lnm），m>0，則h′（m）=4［2m（1-lnm）-m］=4m（1-2lnm），由h′（m）=0，解得m=e，則當0<m<e時，h′（m）>0，函數h（m）單調遞增；當m>e時，h′（m）<0，函數h（m）單調遞減，所以可得m=e時，h（m）取得極大值，且為最大值，最大值為2e，則有a≤2e.

實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，2e］，故填答案（-∞，0）∪（0，2e］.

5教學啟示

5.1歸納技巧方法

涉及多曲線（主要是兩個曲線）的公切線問題，其核心就是相應的切點坐標，利用導數的幾何意義知切點處的導數就是對應切線的斜率.對于公切線問題，應根據兩個函數的圖象在切點處的斜率相等，同時滿足切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點的橫坐標的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析與求解.［2］

5.2提升變式效應

在高中數學課堂教學與學習中，教師要適時地將一些典型問題進行深入變形與拓展，借助“一題多解”“一題多變”等形式，實現“一題多得”，逐步培養學生靈活多變的數學思維，發散開拓的數學思想，以及創新應用的探索精神與創新意識，從而真正把對數學能力的培養落到實處，全面提高數學核心素養.

參考文獻

［1］韓雅雅.用導數法求解兩條曲線的公切線問題的思路［J］.語數外學習（高中版上旬），2023（11）：50-51.

［2］李寧，唐盛彪.例析涉及公切線的導數壓軸小題［J］.數學通訊，2018（5）：1-3.