拾“階”而上，讓思維向更高、更深處邁進

【摘 要】思維發展的過程就是數學素養提升的過程，兒童發展的早期階段，數學教學尤其要關注兒童高階思維的發展。文章就一些常見的練習設計，從“單一到歸納”“淺顯到深刻”“模仿到創造”三個角度，幫助學生拾“階”而上，向思維更高處、更深處不斷漫溯，從而發展學生的邏輯性思維、批判性思維和創新性思維。

【關鍵詞】小學數學 思維進階 數學練習

一、由單一到歸納，增強思維的邏輯性

（一）問題呈現

在“平行四邊形的面積”一課教學中，教師利用“轉化”思想，通過剪、拼、移將平行四邊形轉化成長方形，從而引導學生探索發現平行四邊形的面積計算公式。將平行四邊形轉化成長方形后，往往引導學生觀察對比發現：面積不變，周長變小。本單元練習和整理與復習，同樣也涉及“不同情境下，平行四邊形轉化成長方形，面積和周長發生什么變化”這樣的問題，從學生的練習反饋看，部分學生還是不能獨立準確地觀察分析，發現前后圖形的變與不變。如果只停留在某一題，學生的思維也永遠只能就題論題而沒有高度。因此，教學時，教師可將這些練習題進行整合，在觀察、比較、辨析中增強學生思維的邏輯性。

（二）教學案例

【題目1】

師：同學們，我們在探究平行四邊形面積計算公式的時候，利用“轉化”的思想，將平行四邊形轉化成長方形，從而解決了問題。想一想，我們當時是怎樣做的？

生：沿著平行四邊形的高剪開，剪下一個三角形，然后平移到右邊，拼成一個長方形。我們發現，長方形的長和平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等，所以二者面積相等；至于周長，兩條底邊沒變，原平行四邊形的斜邊變成了長方形的寬（原平行四邊形的高），高比斜邊短，所以周長變小。（圖1）

【題目2】

師：那這一題呢？老師這里有20本練習本，它們摞成了一個長方體。現在將這摞練習本均勻地斜放，這時朝前這個面變成了一個近似的平行四邊形。同學們仔細觀察，面積變了嗎？周長呢？（圖2）

師（引導）：斜放后，高度變了嗎？

生：高度沒變，都是20本練習本摞在一起的高度。

生：平行四邊形的底和長方形的長相等，都是練習本的同一條邊的長度。而平行四邊形的高就是長方形的寬，所以面積不變；周長和上一題差不多，兩條底邊沒變，但是長方形的兩條寬邊變成了兩條斜邊，所以周長變大了。

【題目3】

師：再來看一看，將一個長方形框架，拉成一個平行四邊形，這次面積變化了嗎？周長呢？（圖3）（學生自由討論）

教師拿出教具演示，學生觀察到：在將長方形拉成平行四邊形的過程中，長（平行四邊形的底）沒有發生變化，但是高在不斷變小，所以面積也在不斷變小，直至最后變為零。也就是說，拉成的平行四邊形越扁平，它的高就越短，面積也就越小。

生：我認為周長是四條邊的和，雖然圖形扁了，但四條邊的長度始終沒有變化，所以周長不變，面積變小。

【對比歸納】

師：我們來看看剛才的3道題，都是在長方形與平行四邊形這兩個圖形之間進行轉化，為什么有時面積不變、周長變化，而有時卻是周長不變、面積變了呢？

生：因為它們的變化方式不一樣。

第一題，將平行四邊形轉化成長方形，是圖形的分割、平移，整個過程面積不變；轉化后原平行四邊形的斜邊變成了長方形的寬（原平行四邊形的高），高比斜邊短，周長變小。

第二題，長方形變成近似的平行四邊形后，平行四邊形的底正好等于長方形的長，高正好等于長方形的寬，所以面積不變；周長變大，原長方形的寬（平行四邊形的高）變成了斜邊，斜邊比高長。

第三題，長方形框架拉成平行四邊形后，底不變，但是高在不斷減小，所以面積變小；但無論怎樣拉，四條邊的長度始終不變，所以周長不變。

（三）反思總結

小學生面對繁雜的數學知識，往往不懂得歸納總結，所掌握的知識多是凌亂的，不能很好地用“邏輯化”的思維解答數學問題。因此，在習題處理上，一方面，教師要遵循教材的編寫意圖，體現出習題應有的作用和價值；另一方面，教師要善于根據學生的實際情況和教學的現實需要，對習題進行歸類和辨析，使學生的數學思維邏輯更加清晰，讓學生學會通過一道題去解決這一類題目。在本案例中，學生在不同情境下，通過剪一剪、畫一畫、拉一拉、比一比等實踐活動，探索和感受平行四邊形面積、周長的變化過程，感受其中的規律及本質。這不僅加深了學生對此類問題的印象，總結出了解決方法，還能夠培養學生的空間觀念，提高學生的數學核心素養，促進學生的思維進階。

二、由淺顯到深刻，發展思維的批判性

（一）問題呈現

例如，在教學蘇教版數學五年級下冊第一單元“簡易方程”時，很多學生搞不清方程的本質，還停留在算術思維階段，不會列方程。方程實際上就是講兩個故事，然后用等號連接。具體來說，兩個故事的主人公是同一個量，每個故事都可以用已知數和未知數來表達這個量，然后用等號連接起來。教師在帶領學生處理方程問題時，要注重培養學生的批判性思維，在解決問題的各個環節中追問、反問，引導學生用批判性的眼光看待問題。

（二）教學案例

【題目4】

將一批圖書分給五年級一班的學生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個班有多少個學生？

師：題干中給了我們哪些條件，要解決什么問題？請同學們想一想，題目中什么是不變的？誰是故事主人公？

生：書的總數量和學生的人數是不變的。我認為主人公是書的數量，題目求的是學生人數，可設為未知數，那么書的數量可以借助學生人數來表示。這樣可以講“每人分3本書”和“每人分2本書”這兩個故事，方程就列出來了。

列方程、解方程后，學生在檢驗環節時出現兩種情況：第一種，代入原方程中，看看左右兩邊是否相等；第二種，代入原題中看看是否符合題中的條件。那么哪種驗證方法正確呢？這時教師要引導學生：代入原方程只能檢驗算法的內部性問題，比如結果是否算錯，但在實際問題中，我們要將結果代入原題中看看是否符合題意。

師：請同學們思考，還有沒有其他列方程的思路呢？主人公一定是圖書總數量嗎？

學生動筆思考，嘗試建立其他等量關系，教師巡視發現，大體出現3種情況：

用兩個式子表示每人分3本的圖書數量：3x=2x+25+15;

用兩個式子表示每人分2本的圖書數量：3x-25-15=2x;

用兩個式子表示班級總人數：x=（25+15）÷（3-2）。

這一環節教師要引導學生對比發現：最后一種方法，方程左邊只有一個x，很容易出錯。這種方法本質上就是算術方法，未知數離故事的主人公最近，即未知數本身作為相等關系的量，這樣的方程最復雜，也失去了列方程解答的意義。

（三）反思總結

本案例中，教師通過不斷地追問學生來促進學生進行深入思考，從而強化學生的數學模型意識。不僅僅是在方程的學習中，任何一道題的解決，教師都應引導學生帶著批判性的眼光去分析，通過培養學生的批判性思維，使學生更加全面、客觀和有邏輯地處理問題。具體來講，做題時要做到四問：

問題一：條件與問題是否清晰？

審題錯誤對于小學生來說十分常見。學生對條件和問題的理解錯誤，一方面是由于學生自身的語言理解能力有所欠缺，另一方面是由于問題情境的敘述本身比較復雜。如果學生初次列出算式后，再回過頭來讀一讀題目，重新理順一下數量關系，有可能發現錯誤并糾正。

問題二：依據什么數量關系得出算式？

這一類問題解決的是學生沒有根據、想當然地列式的問題。特別是對于數量關系并不明朗的題目，有些學生會不假思索地列出算式。這時候教師就要引導學生進行反思：“根據什么數量關系得出的算法？”“此算法的依據是什么？”

問題三：結果是否能夠檢驗？

這一類問題主要是解決結果的合理性問題。有些檢驗是邏輯性檢驗，解決的是算法內部性問題，如結果是否算錯。有些檢驗是事實性檢驗，可以將結果帶入原題進行檢驗，看看結果是否符合題意。

問題四：有沒有其他更好的思路？

這一類問題主要解決算法多樣性及優選的問題。有些題目可以有多種思路和算法，在多種思路之間，有的具有可比性，有的不具有可比性。具有可比性的思路就需要進行優選，優選思路實質上就是優化學生的思維。學生用某種算法解決問題后，如果覺得這種算法比較復雜，就更加需要質疑：“有沒有更好的思路？”

三、由模仿到創造，培養思維的創新性

（一）問題呈現

一般來說，對于每一單元的教學教師都有現成的、固定的、相匹配的教學方法。雖然這樣的教學方法對于教學質量有一定保障，但是這樣的教學方式一定程度上也限制了對學生的創新性思維的培養，減少了學生自主解決問題的機會。例如，學生在學習過基本的平面圖形后（除圓外），教師可以將課后練習進行改編，將關注的重點更多地放在學生的思考過程上，打破學生的思維定式，培養學生的創新思維能力。

（二）教學案例

【題目5】

蘇教版數學三年級上冊第42頁“想想做做”第2題。

下面是計算圖形周長的算式：

（1）（5+2）×2=14（厘米）

（2）3×4=12（厘米）

請你想一想這兩個圖形可能是什么形狀，試著畫一畫，盡可能多地畫出符合要求的圖形。

師：同學們，這是我們三年級曾經做過的練習，如果老師現在將題目反過來問，從我們目前已學知識出發，請你充分發揮想象，這兩個圖形可能是什么形狀？自己畫一畫。

以算式“3×4=12”為例。

題目要求呈現后，大部分學生存在思維定式，只能暫時畫出邊長是3厘米的正方形（圖4中的①圖），這時教師可以啟發學生：

一定是正方形嗎？還可以是什么圖形？學生想到還可以是四條邊為3厘米的平行四邊形。（圖4中的②圖）

一定是四邊形嗎？想一想，算式“3×4=12”還可以怎樣理解？學生想到還可以看成是“3個4”，那么邊長是4厘米的等邊三角形也可以。（圖4中的③圖）

一定是規則圖形嗎？回憶我們以前的實踐課“周長是多少”，還可以是什么圖形？學生想到還可以是不規則圖形，比如“階梯型”。（圖4中的④圖）

生：那“凹凸型”也一定可以，通過平移都能轉化成正方形！這樣的話，可以畫出無數個平面圖形了。

（三）反思總結

在日常的練習教學中，教師不僅要營造良好的學習氣氛，給學生提供一個大膽提出新看法的平臺，更重要的是，教師要對教學內容進行認真的思考，找到能夠讓學生接受的一題多變的題目，從而激發學生解題的靈感，促進學生思維的發展。如果教材中很難找到這樣類型的題目，那么教師就需要集思廣益，在開始教學之前進行題目的再創造。本案例中，教師利用逆向思維給出計算周長的算式，由于思維定式，學生起初只能想到“邊長是3厘米的正方形”，這時教師通過逐層遞進的追問來啟發引導學生：一定是正方形嗎？一定是四邊形嗎？一定是規則圖形嗎？從不同角度、方法和知識模塊入手，通過思考和解題的過程，讓學生體會到不同思路之間的融會貫通。一題多變的教學方式能引導學生從多角度看待問題，拓展學生的思維，強化學生的推理意識和創新意識，從而促進思維進階。

總之，思維進階是一個由淺入深、由表及里的發展過程。在小學數學教學中，教師要有意識地對教材習題進行整合與改編，不斷引導學生將一個個具體的數學方法升華為一般性策略，使得數學課堂教學超越具體的知識和技能，深入到思維層面，促進學生在解決問題的過程中更好地發展思維的邏輯性、批判性和創新性，實現思維進階。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.