提高統(tǒng)計素養(yǎng)　發(fā)展數(shù)據(jù)觀念

“統(tǒng)計與概率”是義務教育階段數(shù)學學習的重要領域之一，是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)素養(yǎng)的重要知識載體，不過因其在評價中分值少、試題總體難度不高經(jīng)常不被教師和學生重視.對比新舊課標，不難發(fā)現(xiàn)，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》從整體上提高了對該領域的要求，確立了從數(shù)據(jù)意識到數(shù)據(jù)觀念的階梯式培養(yǎng)目標[1]，特別指出要讓學生感悟數(shù)據(jù)分析的必要性，形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念和模型觀念[2].那么該如何在實際教學中落實這一培養(yǎng)目標，提高學生的統(tǒng)計素養(yǎng)呢？下面謹以筆者的一節(jié)市級公開課“頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖”為例，談談自己的理解.

1 教材分析

“頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖”這一課安排在蘇科版八年級下冊“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”這一章.在這之前，學生已經(jīng)了解了數(shù)據(jù)收集的方式，會根據(jù)不同需要選擇不同的統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖）來描述數(shù)據(jù).本節(jié)內(nèi)容則是在學習了頻數(shù)和頻率概念的基礎上，研究如何用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖來描述連續(xù)型統(tǒng)計量的數(shù)據(jù)分布情況，并利用這兩個工具來解釋數(shù)據(jù)中蘊含的信息，從而對實際問題作出簡單的判斷和預測.

2 初步設想

本節(jié)課的教學難點是分組的必要性以及如何確定分組.為了突破難點，基于課本上研究50名學生身高分布情況的問題，筆者設計了如下問題串：

（1）綜合分析這50個數(shù)據(jù)，你得到了哪些信息？

（2）用什么方法來描述這個樣本體現(xiàn)出的學生身高范圍和整體分布情況？

（3）生活中是否有對數(shù)據(jù)分組的例子？

（4）如果分組研究數(shù)據(jù)，你想將數(shù)據(jù)分成多少組？如何分？

3 改進思路

根據(jù)初步設想試講后，發(fā)現(xiàn)這樣設計存在很大的問題：

（1）分組的必要性真的講清楚了嗎？其實，根據(jù)學生的反應，大部分學生對“整體分布”一詞的理解并不深刻，還不明白為什么要分組就在教師的“指揮”下開始嘗試了.

（2）在“分組”環(huán)節(jié)師生討論過久，導致后面留給學生自己制表、繪圖的時間較短，而且因為沒有明確分組方法，學生在自主制表、繪圖環(huán)節(jié)大多沒有選擇“加一位小數(shù)”的分組方法.

（3）教師的展示并不能代替學生的學習，比如制表中劃記的過程，根據(jù)表來繪圖的過程都應讓學生經(jīng)歷.因此學生在自主繪圖時普遍感到困難.

試講之后筆者重點思考了如下問題：

（1）為何要研究本節(jié)內(nèi)容？分組的必要性這一難點該如何突破？

（2）有了頻數(shù)分布表，為什么要繪制頻數(shù)分布直方圖？它們的意義、作用分別是什么？

（3）作為一節(jié)統(tǒng)計課，如何讓學生感受到進行數(shù)據(jù)整理、描述和分析的重要性，從而發(fā)展數(shù)據(jù)觀念？

之前學生已經(jīng)學習了利用三種統(tǒng)計圖來直觀描述數(shù)據(jù)，但對于連續(xù)型的統(tǒng)計量，學生根據(jù)已有的經(jīng)驗繪制出的統(tǒng)計圖不能清楚地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征和規(guī)律，這也是本節(jié)課學習的必要性.為了讓學生能體會到這一點，不妨以問題“為了了解身高的整體分布情況，能否用我們學習過的統(tǒng)計圖進行描述？”順應學生的思維，啟發(fā)學生思考.

同時，新課標中指出對于“抽樣與數(shù)據(jù)分析”的教學應當以現(xiàn)實生活中的實例為背景，引導學生通過對實際問題中數(shù)據(jù)的分類，感悟數(shù)據(jù)分析的必要性，形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念和模型觀念[2].因此，在課堂中創(chuàng)設真實的問題，使用真實的數(shù)據(jù)很有必要，讓學生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計活動.

基于以上思考，筆者重新設計了教學思路：提出問題（創(chuàng)設問題情境）—整理數(shù)據(jù)（引出分組的必要性）—討論分組（如何合理分組）—制表（讀表、理解意義）—繪圖（讀圖、理解意義）—解決問題（形成判斷和決策）.

4 課例呈現(xiàn)

4.1 提出問題

問題現(xiàn)我校八年級要舉行班級廣播操比賽，準備從本班43名同學中挑選身高差不多的30名同學參加比賽，該如何確定這30名學生呢？

學生提出為解決這個問題，需要收集全班同學的身高數(shù)據(jù)，并且要了解身高數(shù)據(jù)的整體分布情況.這時展示課前剛剛收集到的43個身高數(shù)據(jù).（現(xiàn)場測量學生的身高，一邊測量一邊錄入到excel表格里.）

教學說明：首先讓學生回憶一個完整的統(tǒng)計活動需要經(jīng)歷的過程，即“提出問題—收集數(shù)據(jù)—整理、描述數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解決問題”；然后拋出上述問題，對于這個問題，同樣地，需要先收集數(shù)據(jù)，再對其進行整理和描述，為了解身高數(shù)據(jù)的整體分布情況，就需要分組整理數(shù)據(jù)，初步引出分組的必要性.在該活動中，以真實的情境為載體，現(xiàn)場收集43名學生的身高數(shù)據(jù)，體現(xiàn)統(tǒng)計活動的真實性，調(diào)動學生積極性.

4.2 整理數(shù)據(jù)

問題1觀察這些數(shù)據(jù)，你能從中獲得哪些信息？

問題2前面我們已經(jīng)學過三種統(tǒng)計圖，是否可以用其中一種統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)，從而獲得整體分布情況？

對于問題1，學生從兩方面作了回答.一是觀察到數(shù)據(jù)中的最大值是182，最小值是150，即能夠求出這組數(shù)據(jù)的范圍；二是估計出身高在160～170之間的人數(shù)較多，但并不確定.接著教師追問“那怎么才能更直觀并且相對準確地描述數(shù)據(jù)呢？”，進而拋出問題2.學生普遍認為可以用學過的條形統(tǒng)計圖進行描述，橫軸是每個身高的數(shù)據(jù)，縱軸是對應身高的人數(shù).教師現(xiàn)場利用excel工具繪制出學生想要的條形統(tǒng)計圖（如圖1）.

問題3觀察這個條形統(tǒng)計圖，你有怎樣直觀的感受？這說明什么？

對于問題3，學生表示這個條形統(tǒng)計圖中的長方形“多且亂”，不能較好地描述數(shù)據(jù)的整體分布情況.

教學說明：為了了解數(shù)據(jù)的分布特征和變化規(guī)律，需要對數(shù)據(jù)分組，但學生的體會并不深刻，甚至不明白何為“整體分布”.所以考慮從學生的經(jīng)驗出發(fā)，已學的統(tǒng)計圖是否能夠實現(xiàn)目標？呈現(xiàn)出不理想的統(tǒng)計圖，通過發(fā)現(xiàn)“長方形多而亂”體現(xiàn)出這樣的條形統(tǒng)計圖并不能直觀描述數(shù)據(jù)的整體分布情況，學生才能理解何為“整體分布”以及尋找更恰當?shù)姆绞?考慮到條形統(tǒng)計圖的繪制不是本節(jié)課的重點，繪制也比較繁瑣，所以選擇現(xiàn)場用excel生成.

4.3 分組

問題1要想了解這組數(shù)據(jù)的整體分布情況，怎么辦？

追問：在我們以往的學習生活中，有沒有這樣處理數(shù)據(jù)的例子？

問題2那該如何分組呢？請大家自己試一試，將你認為合理的分組結果寫在學習單上.

問題3請根據(jù)討論修改你的分組.

學生提出需要分組處理數(shù)據(jù)，并從對考試成績分段研究的實際例子中再次感受到研究的意義.學生的初步分組主要有以下錯誤：（1）對于同一個數(shù)據(jù)，同時存在兩組中；（2）分界值不連續(xù)，導致有的數(shù)據(jù)無法分組.針對學生的錯誤，教師以“如果有一個數(shù)據(jù)是159.5該放在哪一組？”追問引發(fā)討論.學生認為可以取近似值，四舍五入當作160，這也是一種處理辦法，但如果不能取近似值呢？學生接著說就在每一分組后面?zhèn)渥⒉话舷拗?“那可不可以用數(shù)學符號來表示呢？”從而得到用不等式來確定分組的方法.

還有學生提出因為這里身高數(shù)據(jù)都是整數(shù)，所以分組的分界點可以精確到十分之一，這樣就能保證每一個數(shù)據(jù)有唯一分組.如果數(shù)據(jù)中出現(xiàn)小數(shù)呢？那就讓精確度再提高一位，共同討論出“加一位小數(shù)”的方法.

對于是先確定組距還是組數(shù)，其實都可以.因為組數(shù)＝極差÷組距，所以為了計算的方便，往往會選擇先確定組距.分多少組合適取決于想要的分布精確度，組數(shù)越多，數(shù)據(jù)分布越精細.

教學說明：如何恰當分組是本節(jié)課的難點，分組的關鍵是分幾組、組距多大及如何確定分點，分組的結果要確保每一個數(shù)據(jù)都有“家”，且有唯一的“家”.在這里，筆者并沒有把分組的流程格式化地教給學生，而是希望學生在嘗試、比較、反思的過程中體會得出分組的方法.

4.4 制表

問題1接下來要統(tǒng)計每一個組有多少數(shù)據(jù)，請大家采用劃記的方法進行統(tǒng)計并填入表中.

問題2表1就是我們今天要學的頻數(shù)分布表.你覺得這個表有什么作用？

問題3根據(jù)表1，你能描述我班學生身高的整體分布情況嗎？

4.5 繪圖

問題1你能根據(jù)頻數(shù)分布表設計相應的統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)嗎？

問題2比較同學們畫的這兩幅圖（圖2，圖3），你覺得哪幅圖更準確？為什么？

問題3問題2中繪制的圖有什么用？

受條形統(tǒng)計圖的負遷移影響，不少學生繪制的圖如圖2，教師選取學生的不同作品進行投屏展示，學生指出頻數(shù)分布直方圖的條形之間應該是沒有間隙的，因為分組的數(shù)據(jù)是連續(xù)的，進而歸納出頻數(shù)分布直方圖與條形統(tǒng)計圖的區(qū)別和聯(lián)系.從頻數(shù)分布直方圖中，可以較為直觀地看出身高數(shù)據(jù)的整體分布情況.

4.6 解決問題

問題1該如何確定參加廣播操比賽的30名學生呢？

問題2觀察頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，你還能作出怎樣的推斷和估計？你覺得估計的方案科學嗎？

教學說明：從實際問題中抽象出數(shù)學問題，再回歸到解決問題，讓學生經(jīng)歷一個完整的統(tǒng)計活動，獲得對統(tǒng)計全過程的理性思考，形成統(tǒng)計思維.在解決問題的過程中，感受用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，體會頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的實用性.

5 教學思考

5.1 以現(xiàn)實問題為背景，經(jīng)歷統(tǒng)計全過程

統(tǒng)計教學如何讓學生感受到其重要性與實用性，重點在于讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程.創(chuàng)設真實的情境，對真實的數(shù)據(jù)進行處理，經(jīng)歷“提出問題—收集數(shù)據(jù)—整理、描述數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解決問題”的完整過程，更能激起學生研究的興趣，提高學生的參與度.學生在解決問題的過程中，知道數(shù)據(jù)蘊含著信息，能根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法，感受到分組、制表、繪圖每一步的意義和作用.

5.2 立足新知與舊知差異，體會新知適用性

通過不理想的條形統(tǒng)計圖促使學生感受到利用舊知不能解決新問題，即如果一個數(shù)據(jù)一組，不能較好地描述數(shù)據(jù)的整體分布情況，從而為了解數(shù)據(jù)的總體分布特征和變化規(guī)律需要進行分組研究，分組整理就需要用到頻數(shù)分布表，為了更直觀呈現(xiàn)，就需要利用頻數(shù)分布直方圖.

自主繪圖時讓學生再次體會頻數(shù)分布直方圖與條形統(tǒng)計圖的聯(lián)系與區(qū)別，頻數(shù)分布直方圖的橫向指標是連續(xù)的，是特殊的條形統(tǒng)計圖.在對比中，明確對于連續(xù)型統(tǒng)計量，需要使用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

5.3 形成合理判斷與決策，感悟統(tǒng)計思想

由本班學生的身高分布情況去推斷全年級身高的分布情況，是在用樣本的頻數(shù)分布去估計總體的分布情況，是進一步的統(tǒng)計推斷，是對統(tǒng)計結果作出預測.決策是否合理，關鍵取決于樣本是否具有代表性，由此從中體會數(shù)據(jù)分析的重要性，感悟通過樣本特征估計總體特征的思想.

根據(jù)圖表呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布情況，學生能感悟到數(shù)據(jù)分析的必要性，能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價值，會用數(shù)據(jù)的分析結果，形成合理的判斷或決策，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念.

參考文獻：

[1]宋乃慶，劉彩霞，陳婷.義務教育新課標“統(tǒng)計與概率”領域的發(fā)展變化——基于數(shù)據(jù)素養(yǎng)培養(yǎng)的視角[J].課程5教材5教法，2022，42（9）：27-34.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.