自然生長促真學，真教優導助發展

人民教育出版社中學數學室主任章建躍博士提出，理解數學知識的三重境界為知其然、知其所以然、何由以知其所以然——啟發學生，示以思維之道耳！在幾何教學中注重怎樣讓學生想到，也就是要求教師理解研究幾何的一般方法，教學要注重生成自然，符合學生的認知.筆者以人教版七年級下冊第五章“5.1相交線”教學為例，探討如何用自然生長促真學，用真教優導助發展.

基于上述構思，筆者設計了教學案，并嘗試執教本課，力求讓學生學透悟足.

1 “相交線”教學設計

1.1 教學環節一：初步感悟

問題1（1）觀察圖1，圖中包含了哪些基本幾何圖形？

（2）同一平面內，兩條直線有哪些位置關系？

設計意圖：通過回顧基本幾何圖形，喚醒學生對點、直線、射線、線段、角的回憶，歸納研究幾何圖形的基本途徑.

1.2 教學環節二：新知探究

問題2（1）上述研究都是基于一條直線進行的，下面我們可以研究什么？

（2）嘗試畫出同一平面內兩條直線的關系.（小組合作探究，然后集體交流匯報.）

（3）這兩種位置關系的區別是什么？你能嘗試描述嗎？

設計意圖：通過問題2引導學生思維自然過渡到本節課要研究的知識點.基于對小學知識的認知，學生會畫出平行、相交、垂直三種情況的直線，然后進行合作學習，共同探究，找到正確的分類，辨析清楚垂直是相交的一種特殊情況.通過找尋兩種位置關系的區別，嘗試給相交線下定義——兩條不同的直線有唯一的公共點時，我們稱這兩條直線相交，這個公共點叫交點.用符號語言描述為直線AB，CD相交于點O，點O為交點.

問題3（1）我們給相交線下了定義，那么下面研究什么？

（2）如圖2，兩條直線AB，CD相交于點O，O為交點，具體可以研究什么？

（3）如何探究兩條直線相交形成的四個角之間的關系？

（4）請嘗試給角命名.

（5）你能找出對頂角嗎？如果不能，請說出理由.

設計意圖：學生借助已經學過的直線、射線、線段和角的研究過程，清楚研究定義之后可以探究相交線的性質.那么對于具體問題，如何選擇研究的對象，這就要把握相交線研究的內涵，即幾何圖形組成的元素之間的相互關系就是性質.確定具體研究內容為研究角之間的關系.但是兩條相交直線小于平角的角共有4個，可能會存在四個角、三個角、兩個角的研究方向，靠學生單獨研究效率太低，故借助小組合作學習，共同發現.對于四個角之間的關系學生可以發現其和為360°，而三個角之間沒有確定的關系.其中比較難探究的是兩個角之間的關系，可以引導學生首先找出共有幾對角，如選擇一組角∠AOD和∠BOD，從幾何研究的內容出發，發現對于兩個角可以研究其數量和位置關系，但是位置關系如何有效描述，需要引導學生從角的定義出發找到研究的方向.然后學生共同探究剩余的幾組角，根據探究發現進行分類，嘗試命名，進一步加深對鄰補角、對頂角的理解.通過例題，檢驗學生是否真正理解了相關概念，強化學生對對頂角的認知.

例1圖3中，∠1與∠2是對頂角的是（）.

A B C D

設計意圖：學生通過辨析，加深對概念的理解.

問題4兩條直線相交，在其中一條直線繞交點轉動的過程中，鄰補角和對頂角具有特定的數量關系嗎？

設計意圖：學生通過問題4的研究，充分認識到直線運動過程中的變與不變，特別是通過對頂角相等的推理，進一步加深對對頂角性質的理解.然后通過規范對頂角性質的符號語言，進一步明確數學概念.

1.3 教學環節三：學以致用

例2如圖4，直線AB，CD相交于點O，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數.

變式1如圖5，已知直線a，b相交，∠2是∠1的3倍，求∠2，∠3，∠4的度數.

變式2如圖5，已知直線a，b相交，∠2-∠1=120°，求∠2，∠3，∠4的度數.

例3如圖6，直線AB，CD相交于點O，請找出∠AOE的鄰補角及對頂角.若沒有，請畫出.

例4如圖7，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOC的對頂角是_______，∠AOE的鄰補角是_______.

設計意圖：學生從實例出發，經歷探究的過程，進一步加深對相交線相關知識的理解，提升知能.

1.4 教學環節四：拓展提升

問題5（1）我們已經研究了兩條直線相交的情況，那么三條直線相交于同一點會形成多少組對頂角和鄰補角呢？

（2）你能解決4條直線相交于同一點的問題嗎？10條直線相交于同一點呢？

設計意圖：通過歸納總結兩條直線相交于同一點形成對頂角和鄰補角的特征，建立“基本圖形”，在探究三條直線相交于同一點對頂角和鄰補角特征的時候，有意識將其轉化為兩條直線相交時的“基本圖形”來解決問題.學生在探究4條、10條直線，以及n條直線（可以放在課后研究）相交于一點的問題時也就有了思路.

1.5 教學環節五：總結反思

（1）這節課我們是如何研究相交線的？

（2）如何看待兩條直線垂直？

（3）鄰補角、對頂角有什么共同特點？

（4）下一步我們可以研究什么？

設計意圖：通過總結反思（1），學生能厘清研究相交線的思路，這對今后研究其他幾何圖形有更多的幫助.通過總結反思（2），幫助學生進一步理解一般與特殊的關系.通過總結反思（3），學生找到對頂角的共同特征是共頂點.通過總結反思（4），學生可以明悟研究方向，從一般到特殊研究相交的特殊情況——垂直，從共頂點的角拓展到不共頂點的角（“三線八角”問題）.總結反思不但促使學生鞏固了本節課學習內容，更啟發了學生“聯系舊知，明悟新知”的學習方法.

2 教學思考

（1）讓知能在學生已有知識體系上再生長

相交線的知識點掌握并不困難，困難在于如何去發現、串聯這些知識點，學生在小學階段已經初步認識了相交線，知曉幾何研究的對象是物體的形狀、大小和位置關系.初中階段應在小學已有的知識體系上進一步生長，在學生知曉定義的前提下，引導學生去探尋相交線的性質.但具體探究相交線的什么性質學生卻是很難想到的，教師引導學生從幾何圖形研究的角度去觀察，發現兩條直線相交形成的角的數量和位置關系.但是兩條直線形成了4個小于平角的角，引導學生逐步探究4個角、3個角、兩個角的關系.相交線的性質探究之后，引導學生理解相交線的判定方法，以及簡單的應用.后續的拓展角度不少，如從一般到特殊的研究角度——從一般相交到特殊相交即垂直；如從研究對象以及幾何要素相交直線（共頂點）的數量研究——三條、四條到n條直線相交于一點會生成多少對對頂角；如從研究對象以及幾何要素對頂角和鄰補角（共頂點）到不共頂點的角（“三線八角”）的探究，等等.

教學不能只停留在知識點本身，而在于引導學生發現知識，逐步建構相交線及后續幾何圖形研究的思想和方法.讓學生從知其然到知其所以然，增強學習的內驅力，激發學習興趣，讓知能再生長.

（2）讓數學思維在教學過程中不斷升華

數學教學要使學生會學，并不是脫離數學知識孤立地去教方法，而要像“在游泳中學游泳”那樣，在用一定方法教學的過程中讓學生學方法，這就對教師教學的關注點提出了新的要求［1］.本節課學生在經歷完整的學習過程中不斷地探索、歸納，從相交線的定義到鄰補角與對頂角的定義再到對頂角的性質，不斷地概括，最終掌握和應用知識解決問題.這個過程非常有意義，在概括的過程中發展了思維.從學生學習角度出發，學生希望學習的內容不是枯燥無味的，或者是大致都掌握了的，也希望在學習過程中遇到的問題有意義、有趣味、有挑戰、有成就感，因此教師設計的問題要相對開放，但是卻又不能超出學生當前的認知.如對于兩條直線相交我們該研究什么，這個問題切入口過大，學生不知道從何入手，因此設計了問題串引導學生去學習，學生數學思維在教學過程中不斷發展和升華.

（3）讓“教”和“學”從混沌走向秩序

《義務教育數學課程標準（2022年版）》依據學生終生發展和社會發展的需要提出了義務教育數學課程的統領性目標：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界［2］.對于課堂教學，肯定要讓學生成為學習的主體，教師做好引導學習的工作.這節課的教學教師基于理解數學、理解教材、理解學情的前提，進行教學內容的重組、設計，讓學材能夠最大化發揮作用.指導學生學習同樣也很重要，在課堂教學進程中，要注意將個人自學、小組合作、大班展示相結合，不同的教學組織形式相機運用；課堂教學要以學生為主體，讓學生充分參與課堂、發表觀點，通過師生對話、相機追問，促進課堂生成［3］.概括下，即教學主線要清晰，能有序引導學生學習探究.本節課圍繞學生核心素養的發展，不占用學生自主學習或合作學習的時間，不替學生思考或得出結論，當學生遇到困難及時為學生搭橋，由學生繪制思維導圖展示學習成果，真正體現了授之以魚不如授之以漁，教學貼近了學生的最近發展區，每個學生都學有所獲.正所謂真教優導提效率，自然生長促真學.

參考文獻：

［1］涂榮豹.數學教學設計原理的構建：教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2019.

［2］孫曉天，沈杰.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀：初中數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［3］李庾南，劉東升．“三學”課堂：聚焦核心素養，指向數學育人——以“研究平行四邊形”課堂片段為例［J］．中學數學，2020（20）：19-21．