多元探索覓方法，多法合一明思想

數學學習離不開解題.數學知識的深入理解與靈活運用，往往是通過典型例題的分析與解答而獲得的，而數學能力的培養與學生智力的發展，也常常是伴隨著由淺入深的解題過程而達到的.波利亞指出：解題的價值不是獲得答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的”.所以，解題教學的關鍵是啟發學生“怎樣想”，打通已知與未知的思維通道.另外，教師還要引導學生學會“品題”，清楚該題考查了哪些核心內容，運用了哪些數學思想方法，理解命題人的設計意圖等.最后，作為教師要基于試題的解題過程反思對今后教學的導向作用，優化解題教學.下面，筆者就對一道試題的賞析和解決闡述一些想法和觀點，僅供大家參考.

1 試題呈現

如圖1，A是直線y=x與反比例函數y=k/x（x>0）圖象的交點，B是直線y=－2/3x與反比例函數y=k、x（x<0）圖象的交點，AB平行于x軸，△ABO的面積為5.

（1）求k1和k2的值.

（2）在反比例函數y=k1、x（x>0）圖象上是否存在點C，使得△AOC的面積與△ABO的面積相等？如果存在，請求出點C的坐標；如果不存在，請說明理由.

（3）將△ABO繞點B旋轉得到△A′BO′，當點A′正好落在y軸上時，求OO′的長度.

2 試題賞析

2.1 核心知識得到高度整合

本題是一道正比例函數和反比例函數背景下的代數與幾何綜合問題.從已知條件來看，涉及直角坐標系、反比例函數的性質、三角形的面積、平行和旋轉變換等核心知識；從分析問題和解決問題的過程來看，關聯了開方運算、分式方程、一元二次方程、方程組、勾股定理、三角形相似和三角函數等核心知識，利用知識的內在聯系和邏輯關系并以問題的形式進行整合，其覆蓋面廣、綜合性強，能較好地考查學生的基礎知識和基本技能.如第（1）小問求反比例函數的“k”，表面看似考查k的幾何意義，但不能由面積直接求k的值，要結合點的坐標、三角形的面積表示等，需要學生深度理解基本概念；又如第（3）小問求OO′的長度，需要學生正確作出圖形，利用旋轉的性質轉化為三角形相似或解三角形問題.

2.2 代數思維貫穿問題設計

代數思維就是字母代表數，使其參與運算，而運算也是一種推理，所以其過程就是代數推理.本題的第（2）小問的設計就是聚焦代數推理，突出一個“算”字，利用三角形的面積求三角形的某一項點的坐標，由三角形面積會自然聯想到面積公式，進而聯想到底和高，而在直角坐標系下底和高與點的坐標有關，但是由面積無法直接算出點的坐標，怎么辦呢？那就進行逆向思維，用字母表示點的坐標，把未知“裝”已知，使其參與運算，建立方程，進而求解.在下文的解法分析中，對第（2）小題的解答給出了6種方法，雖然每種方法切入點不同，但是都是用字母表示數利用代數推理解決的.又如第（1）小題的解決，可以根據條件進行運算，直接建立關于k1，k2的方程組，從而求出k1和k2，但運算過程較為復雜；如果引入一個新的字母（例如表示點A的坐標），間接表示出k1和k2，利用條件進行運算，建立新的一個方程，其運算簡潔了很多，所以代數推理是非常重要的一種演繹推理.

2.3 數學思想引領問題解決

數學思想是對數學知識和方法的本質認識.一個有較高數學素養的人，在分析問題的過程中，最先意識和關注到的是解決問題的數學思想方法有可能用到哪些？而這種能力是建立在解題者的經驗和直覺之上的.本題用到了字母代表數，用到了分類討論、數形結合、模型、轉化與化歸等數學思想.如通過對題目中數量關系的分析意識到存在關于k1，k2的方程（模型），當無法通過已知的條件直接求出點C的坐標時，想到嘗試設出點C的坐標（字母代表數）進行代數推理，建立方程（模型），由反比例函數圖象關于直線y=x軸對稱應該確定存在兩個點C，一個位于點A的上方，另一個位于點A的下方，所以在解答過程中要分類討論；又如因為△AOC是一般的三角形，在用坐標表示它的面積時需要把它轉化為特殊圖形或特殊圖形的和差形式；再如旋轉出現“手拉手”的基本圖形（模型），進而借助相似求出OO′的長度.

3 解法分析

該試題各問的解決思路比較多元，但每種思路的起點清晰，過程自然，邏輯通暢.以下僅展示學生能夠接受的幾種典型解法.

3.1 第（1）問，看似簡單不尋常

本問常規而熟悉，要求k1，k2的值，由于條件給出了△ABO的面積，“情不自禁”想到k的幾何意義，但是只能得到|k1|+|k2|=10，無法確定k1，k2的值，所以注意力集中到未知反比例函數圖象與已知正比例函數圖象的交點坐標上，進而產生了兩種解題思路：

3.2 第（2）問，轉化思想顯神通

第（2）問給出了△AOC的面積，求點C的坐標.因為從△AOC的面積出發無法直接去求點C的坐標.所以用字母來表示點C的坐標.由于△AOC是非特殊三角形，無法直接利用點C的坐標表示其面積，鑒于以往的解題經驗，利用轉化思想，把“一般”化為“特殊”，從而實現問題解決.

3.3 第（3）問，“相似”“三角”殊同歸

4 教學導向

4.1 注重知識之間的聯系，強化基本技能

通過對此試題的分析可知，該題綜合性較強，把很多核心知識整合在一起.如果要順利解決此類問題，就要求學在生正確掌握各個知識點的同時，還需要知曉各知識點間的聯系和內在的邏輯關系，只有這樣在分析問題時才能進行有效的關聯，所以在平常教學中可以嘗試基于整體單元進行教學設計，也可以鼓勵學生自主構建知識思維導圖等，使數學知識結構化.同時，從上面的解法分析可以看到，需要大量且較復雜的無理數運算、代數式運算和解方程等，這正好提醒我們一線教師要幫助學生夯實基本技能，提高答題的速度和準確率.

4.2 注重符號意識的培養，提高推理能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：符號意識是形成抽象能力和推理能力的經驗基礎.學生的數學學習始于算術思維，隨著“字母表示數”，初步感知符號意識，進入初中，經過代數式的運算，知道用符號表達的規律和推理得出的結論具有一般性，從而代數思維得以加強，符號意識得以繼續滲透.有了代數思維及符號意識，數學抽象、數據分析、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學核心素養的落實才有保障.本題的第（1）問和第（2）問都是先引入字母，再進行代數推理，最后建立方程而求得，所以要認清代數思維及符號意識對于培養學生數學能力的重要性，并在平時的教學中有計劃地進行落實.

4.3 注重數學思想的滲透，提升思維水平

在本題的整個解題的分析過程中運用了字母代表數，用到了分類討論、數學結合、模型、轉化與化歸等多種數學思想，充分體現了利用數學思想方法解題的優越性.學習和使用數學思想方法，不僅可以提升學生的解題能力，更重要的是在這個過程中能促進學生數學思維的發展.但是，一個數學思想的形成需要經歷一個從模糊到清晰、從理解到應用的長期發展過程，需要在不同的學段和不同的數學內容教學中提煉、總結、理解、應用等循環往復的過程中形成.所以，數學思想的滲透要有一個初中三年的系統規劃，逐步實施，長期堅持.