含特殊角幾何問(wèn)題的方法生長(zhǎng)探析

摘要：特殊角在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中扮演著舉足輕重的角色，有著重要的地位.本文中通過(guò)一道中考?jí)狠S題的方法探析和變式，歸納出利用常見(jiàn)的基本圖形來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到了“會(huì)一類(lèi)，通一片”“一題多解，多題一解”的效果，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效.

關(guān)鍵詞：特殊角;方法;生長(zhǎng)

“教育即生長(zhǎng)，生長(zhǎng)本身就是目的”.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既是知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維生長(zhǎng)的過(guò)程，更是學(xué)生生命體生長(zhǎng)的過(guò)程[1].我們常把30°，45°，60°以及這些角的補(bǔ)角稱(chēng)為特殊角.之所以特殊，主要在于當(dāng)直角三角形含特殊角（銳角）時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)存在著特殊的比例.可想而知，特殊角在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中扮演著舉足輕重的角色，有著重要的地位，它們經(jīng)命題者變式生長(zhǎng)出一道道精彩的美題.

基于近幾年數(shù)學(xué)中考中有關(guān)特殊角的幾何壓軸題頻繁出現(xiàn)，筆者結(jié)合特殊角幾何問(wèn)題，淺談一下解決該問(wèn)題的方法如何生長(zhǎng).

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探析

2.1 構(gòu)造“三垂型”基本形，利用全等三角形

2.2 構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”基本形，利用相似三角形

“一線(xiàn)三等角”基本圖形是一種常見(jiàn)的構(gòu)建三角形相似的方法，該圖中雖不存在等角，但可利用45°的角去構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”的基本模型，從而化隱為顯，化難為易，再利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程.

其實(shí)，“三垂型”模型是“一線(xiàn)三等角”模型的特殊情況，是特殊模型到一般模型的生長(zhǎng)，它們就是我們所熟悉的“Ｋ字型”.構(gòu)造“Ｋ字型”基本圖形，可解決幾何中常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.

2.3 構(gòu)造“輔助圓”基本形，利用兩點(diǎn)間距離公式

“輔助圓”是一種常見(jiàn)的基本圖形，它可以運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等、半徑相等、直徑所對(duì)的圓周角是直角等一系列知識(shí)點(diǎn)，靈活多變.此模型常用于求定角的位置、求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)、定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的最值等問(wèn)題.

2.4 構(gòu)造“半角”基本形，利用旋轉(zhuǎn)和勾股定理

“半角”模型也是一種常見(jiàn)的基本圖形，該模型常以正方形、等腰直角三角形為背景，這類(lèi)問(wèn)題一般利用旋轉(zhuǎn)完成，可以得到全等三角形，進(jìn)而得到線(xiàn)段之間的關(guān)系.

以上四種解法雖截然不同，但它們存在著一定的共性和規(guī)律.第一，四種解法都是通過(guò)構(gòu)造基本圖形，利用基本圖形的特征、結(jié)論和解題策略進(jìn)行解答；第二，這四種基本圖形的生長(zhǎng)元相同，由特殊角進(jìn)行構(gòu)造；第三，解題過(guò)程中，都是利用全等或相似的性質(zhì)，通過(guò)列方程得出答案.因此，以上生長(zhǎng)探究符合“一題多解，多解歸一”原理.

3 變式生長(zhǎng)

教師除了要提高學(xué)生的解題能力，更重要的是減輕學(xué)生的解題負(fù)擔(dān)，還應(yīng)教會(huì)學(xué)生“多題一解”，達(dá)到“會(huì)一題，通一片”.請(qǐng)看以下生長(zhǎng)變式.

3.1 變式生長(zhǎng)之一：同一背景下改變特殊角的度數(shù)

3.2 變式生長(zhǎng)之二：同一背景下改變問(wèn)題

3.3 變式生長(zhǎng)之三：改變幾何背景

如圖12，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=8，點(diǎn)Ｅ，Ｆ分別在線(xiàn)段BC和射線(xiàn)DC上.若BE＝1，∠EAF=45°，求DF的長(zhǎng).

此變式是把原有的直角坐標(biāo)系背景改為以矩形為背景，還是可以構(gòu)造基本圖形來(lái)求解.請(qǐng)讀者嘗試求解.

縱觀以上變式，雖然特殊角度、問(wèn)題、幾何背景都有所變化，但仍是構(gòu)造基本圖形進(jìn)行解答.主要原因是這些變式與例題存在著相同的本質(zhì)，那就是在幾何背景下存在特殊角.如果教師能教會(huì)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，那么就可以達(dá)到預(yù)期的目的.

4 有關(guān)含特殊角幾何問(wèn)題的教學(xué)思考

4.1 一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“一個(gè)問(wèn)題的解決意味著一系列新的問(wèn)題的誕生.”教師若能進(jìn)行對(duì)“一題多法的探索、一題多問(wèn)的發(fā)散、—題多變的嘗試”的二度開(kāi)發(fā)，這本身就是對(duì)解法之間的聯(lián)系、方法本質(zhì)的深度挖掘，努力追溯問(wèn)題背景及一般的結(jié)論[2].筆者讓所教的九年級(jí)學(xué)生獨(dú)立完成此例題，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生用的是第三種解法（構(gòu)造“輔助圓”），也有少部分學(xué)生用了第一種解法（構(gòu)造“三垂型”），只有一個(gè)學(xué)生提出想構(gòu)造“半角型”，但沒(méi)有成功.可見(jiàn)，本題的最優(yōu)解法是構(gòu)造“輔助圓”.

4.2 變式生長(zhǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的歸一思維

上面的例題和變式看似不同，卻有著共同的本質(zhì)，可以稱(chēng)得上是多題一解.數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)的.我們應(yīng)該由表及里，發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問(wèn)題的本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)有效解題.一題多解注重學(xué)生思維的廣度，多題一解更善于挖掘?qū)W生思維的深度，二者并不矛盾并相互依托[3].因此，在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師要讓學(xué)生的思維既可發(fā)散又可聚合，做到收放自如.

4.3 關(guān)注模型，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維

通過(guò)對(duì)例題的解法探析，我們不難發(fā)現(xiàn)初中幾何中含特殊角的探究問(wèn)題可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的求解，所以教師在平時(shí)的教學(xué)中要從一些簡(jiǎn)單、熟悉的基本圖形出發(fā)，讓學(xué)生熟練掌握常見(jiàn)基本圖形的解題方法，進(jìn)而將復(fù)雜幾何問(wèn)題模型化，逐步使學(xué)生做到“多題歸一”“多解歸一”，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效[4].

參考文獻(xiàn)：

［1］褚水林.生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（14）：19-22.

［2］沈岳夫.抓住特殊角度 探求一題多解[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（2）：23-26.

［3］袁勁松.關(guān)注基本圖形，玩轉(zhuǎn)45°特殊角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（10）：26-28.

［4］劉震.當(dāng)特殊角遇上K字型[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（23）：33-35.