例析類比法在解題中的應用

摘要：類比法是一種重要的教學方法，其在提高學生思維理解能力，培養(yǎng)學生自主學習能力，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)等方面有突出的作用.在實際教學中，教師應創(chuàng)造機會引導學生對相似、相關的內(nèi)容進行類比，以此充分發(fā)揮類比法的優(yōu)勢，提升教學的有效性.本文中以典型例題為載體，將數(shù)學知識與實際問題相結合，充分展示類比法在揭示問題本質(zhì)，提高學習效率，構建良好解題思維等方面的作用.

關鍵詞：類比法；典型例題；解題思維

類比法在數(shù)學教學中比較常見，無論是在新知教學中，還是在復習教學中，亦或是在解題教學中，都隨處可見.類比法中的“比”是基礎，既要關注相同點，也要關注不同點，借助“比”認清問題的本質(zhì)，提高學生分析和解決問題的能力.類比與歸納是重要手段，其在加深知識理解，鍛煉學生思維能力，提升學生數(shù)學素養(yǎng)等方面有重要的作用.在實際教學中，教師要有意識地引導學生對一些相似或相關的內(nèi)容進行類比，以此突出問題的本質(zhì)，優(yōu)化學生的知識結構，幫助學生形成良好的思維習慣，提高學習效率[1].以下筆者以一些典型例題為例，闡述類比法在解題中的作用，以期通過類比幫助學生形成良好的解題思維，提高解題效率.

1 案例分析

1.1 “數(shù)”與“形”的類比

眾所周知，數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，可見數(shù)與形之間有著密切的聯(lián)系.數(shù)形結合既是一種重要的數(shù)學思想方法，也是一種重要的解題策略.在解題教學中，通過“數(shù)”與“形”的類比可以推測相關性質(zhì)，從而將抽象的性質(zhì)以直觀化的形式呈現(xiàn)出來，提高解題效率.

例1求x2+4+25+（7－x）2的最小值.

分析：該題是初中階段比較常見的函數(shù)求最值問題，此類問題的解法很多，不過對于該題來講，若通過配方法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等來求解顯然運算比較復雜，為此在解題時不妨從“形”出發(fā)，通過“數(shù)”與“形”的類比尋找解題的突破口，有效降低運算難度.認真分析不難發(fā)現(xiàn)，原式是兩個帶根號的數(shù)之和，且根號里的式子為兩數(shù)平方之和，于是易聯(lián)想到勾股定理，這樣不妨將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.根據(jù)以上分析，求最小值的問題可以轉(zhuǎn)化為求最短路徑的問題.題目如下：圖1如圖1，已知BD=7，過點B作AB⊥BD，截取AB=2，過點D作DE⊥BD，截取DE=5.若C是線段BD上一點，試求AC+CE的最小值.這樣將問題以幾何圖形的方式呈現(xiàn)出來后，學生根據(jù)“兩點之間線段最短”可以輕松地解決問題.可見，通過數(shù)”與“形”的類比，降低了運算難度，提高了解題效率.

例1獲解后，教師可以進行適度的拓展，讓學生嘗試應用該方法解決一些同類型的題目，以此通過實際運用進一步體會數(shù)形結合的優(yōu)勢，促使學生學會運用“數(shù)”與“形”的類比解決問題.如問題求解后，教師可以讓學生繼續(xù)求x2+4+9+（13－x）2的最小值.

題目給出后，教師提供時間讓學生進行“數(shù)”與“形”的類比，由此加深對此類方法的理解.這樣通過此類方法的深度分析，不僅提高了解題效率，而且拓寬了學生解決最值問題的思路，以此幫助學生積累豐富的解題經(jīng)驗，促進解題效率的提升和思維能力的發(fā)展[2].同時，通過類比可以凸顯最值問題的本質(zhì)，增強學生解題信心.

1.2 相似知識點的類比

雖然數(shù)學知識是豐富多彩的，數(shù)學題目是靈活多變的，但是很多題目考查的知識點是相同的.教學中，通過對相似知識點的類比，可以加深對相關知識點的理解，這樣學生在解題時可以知道考查的要點是什么，從而快速形成解題策略，高效地解決問題.

例2如圖2，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，E是AB邊上一個動點，∠DEF=90°.

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）若AB=4，AE=x，BF=y，當y最大時，x的值是多少？

例3如圖3，在△ABC中，AB=AC=BC，點D，E分別在邊BC，AC上，且∠ADE=60°.

（1）若AB=AC=BC=4，DC=x，AE=y，試寫出x與y的函數(shù)關系式.

（2）當y取最小值時，△AED是何種三角形？

分析：以上兩題雖然圖形不同，已知條件不同，但是認真分析不難發(fā)現(xiàn)，兩道題有個相似之處，就是題目中均有“一線三等角”模型.一般情況下，一條直線上有三個等角，就會存在相似三角形，如例2中由動點E引出的△ADE與△BEF相似，例3中由動點D引出的△CED與△BAD相似.這樣通過對相似點的深入剖析，往往給解題帶來更多的思路，有利于拓寬學生的視野，提高解題效率.

1.3 相似解法的類比

數(shù)學題目雖然千變?nèi)f化，但是很多題目的解題方法相似，因此在解題過程中，教師要有意識地將這些具有相似解法的題目進行類比，以此發(fā)現(xiàn)不同題目中的內(nèi)在聯(lián)系，通過合理的遷移順利地形成解題思路，提高解題效率[3].

例4如圖4，△ABC和△ECD均為等邊三角形，且B，C，D三點在同一直線上.AD分別交BE，CE于點O和點F，BE交AC于點G，則∠BOD=______.

例5如圖5所示，P為等邊△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，若∠APC=150°，∠APB=90°，PC=1，則PB=______.

分析：通過類比不難發(fā)現(xiàn)，例5實則是例4的變式，兩題的解題思路基本相同，屬于同一類題，這樣在解決例4后，可以將例4的解題思路遷移到例5的求解中，繼而快速解決問題.

教學中，教師引導學生將具有相同解題思路的題目進行類比，可以幫助學生抽象概括出解決一類問題的方法，提高學生舉一反三的能力.同時，通過類比引導學生多角度審視問題，以此加深對基本解題方法的理解，積累基本活動經(jīng)驗，切實提高學生的解題能力.

1.4 同類題型的類比

在專題復習時，教師會引導學生對同類題型題目進行類比，讓學生理解和掌握解決一類題的方法，這樣學生日后再遇到同類題型時，可以快速找到解題的突破口，形成正確的解題策略.

例6如圖6，A，B兩點在直線l的上方，且到直線l的垂直距離分別為1和3，P是直線l上一點，說一說當點P在何位置時，可以使PA+PB的和最小.請在圖6中標出點P的位置，并求出PA+PB的值.

例7如圖7所示，在正方形ABCD中，E是AB邊的中點，P是AC上一動點，求△BPE周長的最小值.

分析：例6是學生非常熟悉的“將軍飲馬”問題，可以通過作對稱點的方法確定點A或點B的對稱點A′或B′，連接A′B或B′A，即可確定點P的值，從而輕松求得PA+PB的值.對于例7，雖然題目背景由直線變成正方形，但是“換湯不換藥”，其解題方法與例6相同.

許多數(shù)學題看似形式有所不同，但是其考查的知識點往往是相同的，那么為了在不同中理解相同的本質(zhì)，就要創(chuàng)造機會類比，通過“比”找到問題的本源，掌握解題的方法，從而提高學生舉一反三的能力.

2 結束語

通過對以上典型例題的分析，充分展示了類比法在解題中的價值.在數(shù)學教學中，教師要運用好類比法，通過對問題的內(nèi)涵、形式、思路等進行類比，幫助學生認清問題的本質(zhì)，掌握解決問題的方法，優(yōu)化學生的認知結構，繼而讓學生在解題時可以快速獲得解題的突破口，形成正確解題策略，高效解決問題.同時，通過類比可以讓學生在解題思維、解題方式上做出創(chuàng)新，這對鍛煉學生思維能力，提高學生分析和解決問題的能力都是有益的.

總之，教師作為課堂教學的組織者、啟發(fā)者和引領者，要充分發(fā)揮主導作用，認真研究教學內(nèi)容、認真研究學生，有意識地將相同的、相似的知識點、解法、性質(zhì)等進行類比，幫助學生構建良好的數(shù)學解題思維，提高學生分析和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］陳拾英.巧妙運用類比法 高效解答數(shù)學題[J].數(shù)理化解題研究，2021（35）：46-47.

［2］沈宇華.初中數(shù)學類比法教學的運用和思考[J].數(shù)學教學通訊，2020（2）：69-70.

［3］鄭天順.類比法在初中數(shù)學解題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考，2022（18）：21-23.