超聲波電機(jī)二階線性時(shí)變模型的迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)建模

摘 要：

為了提高超聲波電機(jī)（USM）轉(zhuǎn)速控制模型的精度，提出一種基于迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)的二階線性時(shí)變模型建模方法。針對(duì)USM的非線性與時(shí)變特性，首先基于超聲波電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓的頻率作為輸入變量，轉(zhuǎn)速作為輸出變量，建立一個(gè)描述其動(dòng)態(tài)行為的線性時(shí)變模型。為提高模型辨識(shí)的精度與魯棒性，改進(jìn)迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)（ILI）算法，通過(guò)優(yōu)化誤差加權(quán)范數(shù)和參數(shù)變化率范數(shù)相結(jié)合的目標(biāo)函數(shù)，并且設(shè)計(jì)新的學(xué)習(xí)律，利用歸一化柯西濾波窗口進(jìn)一步地構(gòu)造學(xué)習(xí)律的權(quán)重矩陣。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提的二階線性時(shí)變模型在描述USM轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)特性方面具有較高的精度，迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)算法展現(xiàn)了優(yōu)良的收斂性和魯棒性，能夠有效應(yīng)對(duì)時(shí)變擾動(dòng)并改進(jìn)USM的運(yùn)動(dòng)控制性能。

關(guān)鍵詞：超聲波電機(jī)；線性時(shí)變系統(tǒng)；迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)；學(xué)習(xí)律；雙范數(shù)最優(yōu)；轉(zhuǎn)速控制模型

DOI：10.15938/j.emc.2024.08.018

中圖分類號(hào)：TM359.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）08-0174-11

Iterative learning identification modeling of second-order linear time-variant models for ultrasonic motors

ZHOU Xinglong， SHI Jingzhuo

（College of Electrical Engineering， Henan University of Science and Technology， Luoyang 471000， China）

Abstract：

To improve accuracy of the speed control model for ultrasonic motors （USM）， a second-order linear time-varying model based on iterative learning identification （ILI） was proposed. A linear time-varying model was established with the driving voltage frequency as the input variable and the rotational speed as the output variable to capture the dynamic behavior of the USM， addressing its nonlinear and time-varying characteristics. An enhanced ILI algorithm was developed by optimizing an objective function that combines error-weighted norms and parameter variation rate norms， and a new learning law was designed with a weight matrix constructed using a normalized Cauchy filtering window. Simulation and experimental results demonstrate that the proposed second-order linear time-varying model accurately describes the speed dynamics of the USM， while the ILI algorithm exhibits excellent convergence and robustness， effectively addressing time-varying disturbances and improving the motion control performance of the USM.

Keywords：ultrasonic motor; linear time-variantrite system; iterative learning identification; learning law; two-norm minimization; speed control model

0 引 言

超聲波電機(jī)（ultrasonic motor， USM）是一種新型的微型特種電機(jī)，因其無(wú)電磁干擾、控制精度高、低速大扭矩等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于航空航天、醫(yī)療器械和機(jī)器人等高端運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域［1-4］。但由于超聲波電機(jī)包含壓電能量轉(zhuǎn)換和摩擦傳遞等呈現(xiàn)非線性且分散性較大的過(guò)程，無(wú)論是理論建模還是數(shù)值建模，得到的模型都過(guò)于復(fù)雜且精度較差，從而難以應(yīng)用于實(shí)際工程中，故研究能夠反映超聲波電機(jī)主要?jiǎng)討B(tài)運(yùn)行特征，且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)的超聲波電機(jī)模型及建模方法，成為當(dāng)前超聲波電機(jī)研究的主要方向之一。目前針對(duì)超聲波電機(jī)的主要建模方式有等效電路建模法、有限元建模法、解析建模法和辨識(shí)建模法四大類［5-8］。由于等效電路建模法、解析建模法等方法存在受外界影響較大、模型復(fù)雜度高等問(wèn)題，難以很好地實(shí)際應(yīng)用于USM建模。辨識(shí)建模法不需要直接理論分析建模的機(jī)理復(fù)雜性，同時(shí)能較好表現(xiàn)USM動(dòng)態(tài)特性，因而成為USM運(yùn)動(dòng)控制研究所采用的主要建模方式。

近年來(lái)，為應(yīng)對(duì)超聲波電機(jī)時(shí)變的非線性運(yùn)動(dòng)特性，研究出許多辨識(shí)建模方法［9-14］。文獻(xiàn)［15］在辨識(shí)建模過(guò)程中分別以驅(qū)動(dòng)頻率和轉(zhuǎn)子位置作為輸入和輸出變量，建立用于位置控制的USM非線性Hammerstein模型。采用模型辨識(shí)與微分進(jìn)化算法相結(jié)合的方式，提高模型的精度和建模過(guò)程的效率。文獻(xiàn)［16］基于超聲波電機(jī)的二維預(yù)測(cè)模型，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行微分化以得到迭代學(xué)習(xí)控制學(xué)習(xí)率。為了辨識(shí)所得模型能更好地表現(xiàn)超聲波電機(jī)的非線性特性，設(shè)計(jì)一種針對(duì)電機(jī)非線性的反補(bǔ)償法以建立新的非線性Hammerstein模型。新的辨識(shí)策略所得模型在提高迭代學(xué)習(xí)效果的同時(shí)對(duì)超聲波電機(jī)非線性進(jìn)行有效的補(bǔ)償。文獻(xiàn)［17］以驅(qū)動(dòng)電壓的振幅和頻率作為雙輸入變量，以轉(zhuǎn)速為輸出變量，建立超聲波電機(jī)的Hammerstein非線性模型。所建模型的非線性部分采用高斯函數(shù)和多項(xiàng)式組合的設(shè)計(jì)形式，簡(jiǎn)化了模型結(jié)構(gòu)；線性部分參數(shù)的辨識(shí)是通過(guò)改進(jìn)的微分進(jìn)化算法得到，提高了辨識(shí)所得模型的精度。文獻(xiàn)［9-17］等已有研究雖各有側(cè)重，但忽略了對(duì)USM時(shí)變特性的處理，使得模型應(yīng)對(duì)時(shí)變擾動(dòng)的能力較差，在受到干擾時(shí)不能立即做出相應(yīng)變化，需等到下次迭代才能對(duì)干擾影響做出反應(yīng)。

迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)（iterative learning identification，ILI）是近年來(lái)提出的一種較為新穎的辨識(shí)方式，其可以利用迭代運(yùn)算得到的非因果估計(jì)識(shí)別瞬變的參數(shù)，瞬態(tài)響應(yīng)性能可以通過(guò)學(xué)習(xí)逐漸實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。文獻(xiàn)［18］表明了迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)可用于解決電機(jī)的閉環(huán)識(shí)別問(wèn)題。文獻(xiàn)［19］討論了迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)對(duì)離散時(shí)變系統(tǒng)的可行性。文獻(xiàn)［20］證明了迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)能夠非常好地處理在有限區(qū)間上的具有重復(fù)性受控對(duì)象的完全跟蹤問(wèn)題，同時(shí)具有較好的收斂性和魯棒性。文獻(xiàn)［18-24］說(shuō)明了迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)策略適用于USM這種復(fù)雜程度較高、模型難以確定且可重復(fù)運(yùn)行的被控對(duì)象。

本文針對(duì)超聲波電機(jī)非線性和時(shí)變的特征，以超聲波電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓的頻率為輸入變量，轉(zhuǎn)速為輸出變量，建立超聲波電機(jī)的線性時(shí)變模型。用改進(jìn)的迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)方法來(lái)辨識(shí)模型時(shí)變的參數(shù)，通過(guò)優(yōu)化誤差加權(quán)范數(shù)和參數(shù)變化率范數(shù)相結(jié)合所產(chǎn)生的目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)的參數(shù)學(xué)習(xí)律。使用歸一化的柯西濾波窗口來(lái)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)律的權(quán)重矩陣，有效地平衡參數(shù)收斂性和噪聲魯棒性。并且分析不同轉(zhuǎn)速下的參數(shù)變化規(guī)律來(lái)尋求超聲波電機(jī)不同轉(zhuǎn)速下的一個(gè)統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)策略下的二階線性時(shí)變模型具有較高的精度，可以有效地描述超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)特性，電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線表現(xiàn)出漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程，且算法簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。

2.2 系統(tǒng)階數(shù)和時(shí)間窗口的確定

本節(jié)將確定超聲波電機(jī)在線性時(shí)變系統(tǒng)下模型的階次m、n和時(shí)間窗口［k－p，k+q］。首先，考慮到辨識(shí)精度和所得模型對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的可行性，對(duì)模型階次分別設(shè)定為m=1、n=1，m=2、n=2，m=2、n=3和m=3、n=3，辨識(shí)4種階次下模型的參數(shù)并建立相應(yīng)模型，對(duì)建立的模型分別計(jì)算轉(zhuǎn)速為10～120 r/min時(shí)的誤差，如表2所示。可以發(fā)現(xiàn)，m=2、n=2的誤差是最小的，對(duì)應(yīng)的模型更能反應(yīng)出超聲波電機(jī)的轉(zhuǎn)速變化特征，所以本文超聲波電機(jī)的線性時(shí)變模型設(shè)定為

選擇合適的時(shí)間窗口［k－p，k+q］來(lái)更好地對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，設(shè)置窗口［k－p，k+q］的調(diào)節(jié)參數(shù)p和q分別為p=2、q=2，p=2、q=3和p=3、q=3，計(jì)算3種情況下的模型誤差如圖3所示，表3為所有轉(zhuǎn)速在不同窗口的誤差計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)參數(shù)p=2、q=2時(shí)，也就是時(shí)間窗口選為［k－2，k+2］時(shí)，誤差最小。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本次實(shí)驗(yàn)對(duì)10～120 r/min不同轉(zhuǎn)速建立相應(yīng)的轉(zhuǎn)速-控制模型。以120 r/min為例，選取11組數(shù)據(jù)，其中，10組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，1組數(shù)據(jù)進(jìn)行模型校驗(yàn)。假設(shè)數(shù)據(jù)量為N，參數(shù)的初值設(shè)為5行N列的零矩陣，將10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)迭代10次，記錄每次迭代的參數(shù)結(jié)果，用校驗(yàn)組計(jì)算迭代過(guò)程中的模型輸出與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值的均方根誤差，用以確定模型的精度和算法的收斂性。

圖4為120 r/min在迭代過(guò)程中誤差的變化，圖5為每次迭代時(shí)模型的輸出結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，誤差在前4次迭代都有較大幅的降低，在第6次迭代后誤差收斂到一個(gè)較小值。

分析參數(shù)不同初值對(duì)誤差的影響，如圖6所示，設(shè)置初值為0、0.01A、－0.01A、0.005A（A為元素全部為1的5×N的矩陣）。由圖6可以看出，不同的初值對(duì)模型的誤差影響較大。初值為0.005A時(shí)，誤差最小。

分析迭代過(guò)程中時(shí)變參數(shù)的變化如圖7～圖11所示，參數(shù)在前4次迭代時(shí)變化較大，之后逐漸收斂到穩(wěn)定值。

分析不同轉(zhuǎn)速下同一個(gè)參數(shù)的變化情況，如圖12～圖16所示，可以發(fā)現(xiàn)，在不同轉(zhuǎn)速下，以轉(zhuǎn)速為自變量，參數(shù)a1和a2的變化曲線為截距相近但斜率不同的線性函數(shù)，b0、b1和b2在不同轉(zhuǎn)速下的變化曲線是重合的。

圖12～圖16表明，使用不同轉(zhuǎn)速給定值情況下的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，所建模型表達(dá)式相同，模型參數(shù)b0、b1和b2值及變化過(guò)程基本一致，但參數(shù)a1和a2的數(shù)值好像是有明顯差異的。

事實(shí)上，考慮到模型表達(dá)式分母的首項(xiàng)為1，圖12和圖13中a1和a2的數(shù)值相對(duì)較小。因而，圖12和圖13中a1和a2的數(shù)值差異并不代表相應(yīng)的模型有明顯差異。上述差異只是在針對(duì)不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代建模的過(guò)程中，為了追求特定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與所建模型之前的一致性而帶來(lái)的微小差異。

為了用數(shù)據(jù)說(shuō)明模型之間差異的大小，現(xiàn)考慮式（21）所示模型的穩(wěn)態(tài)增益，即

b0+b1+b21+a1+a2。

不同轉(zhuǎn)速給定值情況下，所得模型的b0、b1和b2值基本一致，即上式分子表達(dá)式差異不明顯，而差異主要體現(xiàn)在分母表達(dá)式1/（1+a1+a2）。使用建模所得a1和a2數(shù)據(jù)，計(jì)算表達(dá)式1/（1+a1+a2）的值，如圖17所示，請(qǐng)注意縱坐標(biāo)的分度量是0.003。由圖17中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到，不同曲線所代表不同模型之間的差異不大于1.86%。

由此可知，使用不同轉(zhuǎn)速給定值情況下的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，所建模型之間的差異很小，這些模型都是有效的。考慮到使用轉(zhuǎn)速給定值為120 r/min的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)涵蓋了電機(jī)可能的調(diào)速范圍，可選該模型為電機(jī)模型。

3.2 模型結(jié)果

對(duì)轉(zhuǎn)速120 r/min的5個(gè)參數(shù)a1、a2、b0、b1、b2以轉(zhuǎn)速為自變量進(jìn)行擬合并代入模型中，擬合圖像如圖18所示。

對(duì)每個(gè)轉(zhuǎn)速進(jìn)行校驗(yàn)，用均方根誤差來(lái)計(jì)算實(shí)際轉(zhuǎn)速值與模型輸出的差，作為評(píng)定模型計(jì)算有效性的依據(jù)。每個(gè)轉(zhuǎn)速下所求得的模型校驗(yàn)誤差如表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，每一個(gè)轉(zhuǎn)速下的模型誤差值都較小，實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值和模型輸出較為接近。為了更直觀地觀察出模型輸出與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值的對(duì)比情況，以120、60 r/min為例，對(duì)比圖如圖19～圖20所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，模型輸出能很好地反映出超聲波電機(jī)的實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值，也進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)超聲波電機(jī)建立時(shí)變的線性模型符合超聲波電機(jī)的非線性、時(shí)變的運(yùn)行特征。在此基礎(chǔ)上，對(duì)所建立的時(shí)變模型用迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)算法來(lái)辨識(shí)模型的時(shí)變參數(shù)，算法有著較好的收斂性和魯棒性，建立的模型精度較高。

3.3 方法對(duì)比

本節(jié)對(duì)線性時(shí)變模型、線性時(shí)不變模型和Hammerstein模型進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算3種模型下的均方根誤差，如表5和圖21所示。可以看出，線性時(shí)變系統(tǒng)下的誤差最小，且相對(duì)線性時(shí)不變模型和Hammerstein模型誤差有著大幅度降低。

綜上所述，從模型設(shè)計(jì)的角度講，時(shí)變的模型能很好地體現(xiàn)超聲波電機(jī)的時(shí)變非線性運(yùn)行特征，迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)算法能較好地辨識(shí)超聲波電機(jī)線性時(shí)變模型中時(shí)變的參數(shù)。從誤差角度來(lái)看，線性時(shí)變系統(tǒng)下的超聲波電機(jī)模型的誤差最小，且相較線性時(shí)不變模型和Hammerstein模型誤差降低50%以上。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)超聲波電機(jī)時(shí)變非線性的運(yùn)行特征，建立線性時(shí)變模型。通過(guò)比較模型不同階次下的均方根誤差，證明二階線性時(shí)變模型更適合于超聲波電機(jī)。用改進(jìn)的迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)策略來(lái)辨識(shí)模型時(shí)變的參數(shù)，通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的參數(shù)學(xué)習(xí)律和時(shí)變的權(quán)重矩陣，使得算法能夠有效地跟蹤快速變化的參數(shù)且對(duì)誤差有著較好的收斂性。通過(guò)使用不同轉(zhuǎn)速給定值情況下的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，所建模型之間的差異很小，轉(zhuǎn)速給定值為120 r/min的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)涵蓋了電機(jī)可能的調(diào)速范圍，所以將120 r/min的模型選為電機(jī)模型。用所建模型與Hammerstein模型和線性時(shí)不變模型進(jìn)行比較，線性時(shí)變模型具有較高的計(jì)算精度，模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速值吻合較好，證明所建模型的有效性。

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（編輯：邱赫男）

收稿日期： 2022-10-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（U1304501）

作者簡(jiǎn)介：周星龍（1994—），男，碩士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)運(yùn)動(dòng)控制；

史敬灼（1974—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)控制與智能系統(tǒng)。

通信作者：史敬灼