放縮法化繁為簡，構(gòu)造招變難為易

摘要：本題以三角函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)為載體，通過函數(shù)型不等式的證明、函數(shù)極值點(diǎn)的研究考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想以及具體問題具體分析的思維本質(zhì).一題多解只是起點(diǎn)并非終點(diǎn).本文中先對(duì)題目進(jìn)行溯源，然后重點(diǎn)揭示該題多種解法背后的思維本質(zhì)，通過分析挖掘解題的最優(yōu)路徑，提高對(duì)壓軸題的本質(zhì)理解和備考效率.

關(guān)鍵詞：思維本質(zhì)；一題多解；數(shù)形結(jié)合；放縮分析

1 題目：2023年新高考Ⅱ卷第22題

（1）證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2<sin x<x;

（2）已知函數(shù)f（x）=cos ax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

2 試題分析與思維導(dǎo)圖

2.1 思維分析

本題第（1）問為“函數(shù)型”不等式，較為常見熟悉，一般思路為直接放縮證明或構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)最值證明，難度適中.本題第（2）問，也是熟悉的極值點(diǎn)問題，本質(zhì)為導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題，“想清楚”和“說明白”的難度都較大，需要在全新題目結(jié)構(gòu)與情境中“具體問題具體分析”.這一類問題命制容易，解決起來往往異常困難.正如數(shù)學(xué)家高斯所說：“它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻隱藏的極深.”從命題的角度看，選擇函數(shù)載體，讓其滿足f′（0）=0，f″（0）<0即可.本題相較于2018年全國卷Ⅲ理科第21題難度似乎小一些.

從解題角度看，第（2）問大致的思路一般是先利用多次求導(dǎo)找出要求的范圍，借此進(jìn)行分類討論，該肯定的肯定、該否定的否定.有時(shí)候，某些細(xì)節(jié)要想用“初等數(shù)學(xué)”說明白，對(duì)“具體問題具體分析”要求很高.常見的處理方法一般有：

先“數(shù)形結(jié)合”，通過f′（0），f″（0），……等值的正負(fù)確定答案，以此為分類討論標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行證“是”、證“否”，過程中往往需要充分利用題目條件、聯(lián)系目標(biāo)函數(shù)和一階導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)作出最優(yōu)處理.

如果難以提前確定結(jié)果，如f′（0）=0，f″（0）=0，……，則只能求導(dǎo)觀察，根據(jù)目標(biāo)確定分類討論標(biāo)準(zhǔn)，然后再證“是”和證“否”，難度更大，不確定性更強(qiáng).可以借助極值的第三充分條件加以說明.

具體問題具體分析：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋ǎ?，1），故只需要研究x∈（0，1）即可（與第（1）問范圍一致），由f′（0）=0，f″（0）=2－a2<0，所以a>2或a<－2.

第一種情況：a=0不合題意，具體運(yùn)算證明即可；

第二種情況：0<a≤2不合題意，將f′（x）變小但仍在（0，t）上大于零，根據(jù)結(jié)構(gòu)運(yùn)用sin x<x，結(jié)合具體問題具體分析；

第三種情況：a>2符合題意，將f′（x）變大但仍在（0，t）上小于零，根據(jù)結(jié)構(gòu)運(yùn)用sin x>x－x2，結(jié)合具體問題具體分析.