一類解三角形試題的多解探究

涉及三角形中三個內角所對應的三元三角函數關系式問題，巧妙將三角函數、解三角形、函數與方程、不等式、函數與導數等相關知識加以交匯與融合，實現數學知識之間的交匯與數學關鍵能力的融合，成為高考數學命題中比較常見的一類熱點與難點.此類問題可以從三角函數的視角切入，也可以從函數與方程的視角切入，多視角變式拓展，是一類全面考查“四基”與“四能”的重要載體.

1 問題呈現

問題 （湖北省武漢市2024屆高中畢業生四月調研考試數學試卷）設A，B，C是一個三角形的三個內角，則cos A（3sin B+4sin C）最小值為______.

此題是一道以三角形為問題場景，求解三元三角函數的最小值，是一道數學能力與創新立意的綜合問題，有效考查考數學思想和方法，分析問題和解決問題的能力等.

涉及三元三角函數問題，關鍵在于逐一轉化，由三元化二元，再由二元化一元，其主要策略就是基于主元法來合理消元處理，最后轉化為對應的一元函數，借助三元均值不等式、函數與導數的應用等思維來處理.而利用主元法消元處理時，可以通過輔助角公式來轉化，也可以利用重要不等式來放縮轉化.思維角度不同，可以很好開拓數學思維與技巧方法.

4 變式拓展

變式 （2024年山西省部分學校高考數學模擬試卷）銳角三角形ABC的內角A的對邊為a，若△ABC的面積是a2，則sin Acos Bcos C的最小值是______.

解析：依題意及三角形的面積公式，可得S△ABC=12bcsin A=a2，整理有bcsin A=2a2.

利用三角形的“第二射影定理”有a=bcos C+ccos B，結合題設條件中△ABC是銳角三角形，則有bcos C>0，ccos B>0.結合基本不等式，可得sin Acos Bcos C=bcsin Abccos Bcos C=2a2（bcos C）（ccos B）≥2a2bcos C+ccos B22=2a2a22=8，當且僅當bcos C=ccos B，即B=C時，等號成立.

故sin Acos Bcos C的最小值是8.

5 解題啟示

涉及解決此類三角形中三內角所對應的三元三角函數關系式的問題時，合理挖掘三元三角函數關系式的結構特征，抓住三角形的應用場景，合理借助三角形的內角和定理、三角函數中的三角恒等變換公式等，基于主元法思維來合理消元.

而借助解三角形中相關問題的應用，根據題設條件中的關系式及其相應的結論特征，或直接轉化，或合理配湊，將相關的知識巧妙地滲透與融合進去，合理優化解題過程，有效簡化數學運算過程，提升數學解題效益，真正起到事半功倍的神奇效果，值得深入推廣與拓展應用.