線上線下深度融合的高三數學復習課探究

摘要：“O2O”教學模式可以拓展教學的時間和空間，豐富教學資源，推進個性化教學的發展.

針對線上線下深度融合的高三復習課探究，

教師結合藝術生的學習現狀，根據“O2O”教學模式的基礎理論，將該模式融入高三一輪復習中，探索適合學生的線上線下深度融合教學路徑.

關鍵詞：線上線下；深度融合；“O2O”教學模式；高三

1 “O2O”教學模式概述

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出：注重信息技術與數學課程深度融合，優化課堂教學，提高教學實效性，引導學生自主獲取資源，轉變教學與學習方式［1］.近年來，藝術生已成為高中生中的重要群體.由于藝術生數學基礎普遍薄弱，同一個班數學成績兩極分化大，尤其在高三備考時期，容量大課時少，數學課上好學生吃不飽，薄弱生難跟上.基于此，廣州市教育科學規劃項目“‘O2O’教學模式在藝術生數學教學中的實踐研究”課題組從學情出發，緊扣高三一輪復習課的“課前、課中、課后”三個重要節點，選取重要主題內容進行線上線下深度融合的教學實踐與研究，經過兩年努力，探索出“O2O”教學模式（Onlineto Offline即線上線下教學模式，以下簡稱“O2O”），它是將“線上教學”與“線下教學”兩部分優勢互補，通過網絡思維解決教育問題，實現互聯網技術與課堂教學相結合，體現人機交互、師生交互和生生交互的教學模式［2］，其實施流程如圖1所示.

“O2O”由三個環節構成：

第一環節，課前線上自學.教師利用晚修在班級群布置課前線上任務.任務分兩類：一類是基礎知識回顧，教師針對薄弱生發布資源，學生通過資源觀看學習，回顧相關基礎知識；另一類是布置課前梯度任務單，教師發布調查問卷，學生在回顧知識后嘗試完成，以便了解學情，更好地把握課堂的深度與廣度.

第二環節，課中線下教學.課堂永遠是教學的主陣地.課堂教學是突破重難點、解決自學疑惑的關鍵環節，更是學生認同并積極投入該模式學習的關鍵環節.教學中，先反饋線上自學情況，然后針對重點、難點，通過師生活動，完成課堂任務，及時小結反思，布置分層作業，提升學生數學素養，高效備考.

第三環節，課后線上鞏固.根據線下課堂教學的情況，教師利用晚修或周末給學生推送微課.微課分兩類：一類是基礎型，主要回顧課堂的例題；另一類是提高型，是對課堂的拓展.學生在完成分層作業時，可根據自身情況選擇并反復觀看，到達及時鞏固、強化的效果.

2 高三復習課教學設計

為確保研究的真實性、學術性、典型性，筆者以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下簡稱“教材”）“直線與平面垂直”復習課為例，呈現所任教高三年級的一次“O2O”模式下的一輪復習課及啟示.

2.1 教學分析

（1）單元框架下垂直關系的內容分析

立體幾何是高中數學的重要內容，是考查空間想象能力的重要載體.通過呈現常見的平面基本模型和空間幾何模型，充分挖掘其結構特征以及位置關系與度量關系，是高考考查的重點.由于空間幾何體的元素較多，聯系較緊密，因此對線面垂直的考查，往往會涉及到其他平行或者垂直定理的滲透與綜合，體現基礎性和綜合性.因此，立體幾何的學習要突出和抓好對線面垂直的學習，這樣才能更好地把握整個知識結構.如下圖2反映了垂直與方方面面的聯系.

（2）藝術生學情分析

藝術生的高三文化課一輪復習往往與藝考備考同步進行，這段時期學生對大部分的基礎知識印象不深，尤其基礎薄弱的學生，需反復學習才可喚醒記憶，而基礎較好的學生，喚醒后只能完成一些簡單任務.總體來說，備考時間往往不足.本課前學生已回顧“平行關系單元”，本課作為“垂直關系單元”的第一課時，內容重要，應由淺至深，由易到難，多設置思維引導點，以任務驅動引領學生分析問題和解決問題，注重前后知識的聯系，完善數學認知結構.

（3）教學目標

根據《標準》對本單元的描述，確定本節復習課的教學目標如下：（1）掌握直線與平面垂直的定義和判定定理，滲透轉化與化歸思想；（2）能從模型特征的視角充分挖掘幾何體中平面基本圖形的性質以及度量關系，建立垂直關系，滲透平面化等轉化與化歸思想和強化模型意識.

（4）教學重點、難點

本課重點為歸納岀空間中垂直關系判定的核心及突破空間中垂直關系判定的核心問題，逐步形成解決問題的核心方法.難點為證明線面垂直要點的把握與提煉、核心經驗的形成及在復雜問題中的應用.

2.2 教學過程

2.2.1 課前線上自學，師生資源交互

教師通過班級群，從國家中小學智慧教育平臺、廣州電視課堂、各大教育教學類網站及本課題組組建的校本資源庫等，遴選合適的學習資源推送給學生，并下發學習任務單，供學生自主學習.

任務1：通過資源觀看，回顧直線與平面垂直的判定定理.

任務2：請分別用文字語言、圖形語言、符號語言，寫出線面垂直的定義.

任務3：請分別用文字語言、圖形語言、符號語言，寫出直線與平面垂直的判定定理.

任務4：運用直線與平面垂直判定定理的關鍵是什么？

任務5：〔教材第162頁習題8.6第（2）題〕設l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內，則“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

設計意圖：通過問題驅動，引導學生構建知識框架，喚醒沉睡經驗，為學生的活動經驗從模糊變得清晰莫定基礎.

任務6：已知四面體PABC中可能有①PA⊥AB，②PA⊥AC，③△ABC為某圓內接三角形且AB為直徑，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC.如圖3，請以上述的一個或多個作為條件，一個作為結論，直接體現線面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理，并用語言表達該內容.

設計意圖：開放性的問題情境設置，既可暴露學生思維的深度與存在的問題，又可讓學生構建“線線垂直”與“線面垂直”關系的一維知識體系.

任務7：正方體中存在大量的線面垂直關系，請同學們參照試題1，改編或自編一道線面垂直的試題，需要包含答案，改編優良的試題將用于課堂教學環節.

試題1 （教材第171頁復習參考題8·第12題）如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明：B1D⊥平面ACD1.

設計意圖：通過編題，促使不同層次的學生得到各自不同創造力的發揮，教師從中選取備課資源，引起學生興趣，激發學生對課堂的期待感.

2.2.2 課中線下教學，師生合作探究

線上反饋：通過資源觀看，學生對定義、定理的單次應用還沒熟練掌握，尤其書寫格式不規范，對定理的多次使用存在障礙，沒能抓住問題核心及基本思路方法.因此課中線下教學既要回歸教材、整合資源，也要把握高考方向，采用并列式、遞進式題組，給學生啟發誘導，夯實基礎，掌握重點，突破難點.

題組1

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，完成下列問題：

（1）如圖5，證明：B1B⊥AC；

（2）如圖6，證明：B1D⊥AC；

（3）如圖7，證明：AD1⊥平面A1B1D；

（4）如圖8，證明：B1D⊥平面ACD1；

（5）如圖9，若E，F分別為AC，BB1的中點，證明：EF⊥AC；

（6）如圖10，若E為AC的中點，F為BB1上一點，證明：D1F⊥AC.

追問1：本題組呈現什么特點，目標指向什么？問題解決的關鍵是什么？所需條件如何挖掘？

設計意圖：把教材習題、多位學生的編題整合為一個前后關聯的問題串，注重引導學生書寫規范和表達準確.其中第（5）問結合“EF∥B1D”或構造等腰三角形，一題多解，開拓思路，引導學生經歷線線垂直在立體幾何平面圖形中是如何產生、挖掘和呈現的.

追問2：點F在運動過程中，保持著什么結構特征？同學們能歸納出什么數學模型？

設計意圖：通過小組討論，提煉第（6）問中的“D1-AC-F”結構，由兩個等腰三角形拼接而成，并進行動態展示，給結構命一個通俗有趣的名字“鱷魚的嘴巴”，如圖11，學生用自然語言并結合鱷魚的特征進行描述，生動形象，激發興趣.

追問3：同學們能用符號語言描述此模型的特征嗎？模型特征會受鱷魚張開嘴巴大小的影響嗎？

設計意圖：引導學生規范嚴謹地書寫，歸納出模型特征，挖掘模型中的垂直關系“BC⊥AD”，并對模型進行動態理解.

追問4：請對比試題2，同學們發現了什么？

試題2 （舊教材人教A版必修2第67頁練習1）如圖12，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，證明：VB⊥AC.

設計意圖：模型源于教材，在一輪復習中，要提高學生重視教材、回歸教材的意識.

題組2

（1）（2017年全國卷Ⅲ）如圖13，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.證明：AC⊥BD.

（2）（2009年海南卷）如圖14，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°.證明：AB⊥PC.

（3）（2013年全國卷Ⅰ）如圖15，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.證明：AB⊥A1C.

追問1：上述問題有何特征？如何處理？

設計意圖：題組2采用高考真題，聚焦“鱷魚嘴巴”模型，進一步訓練學生分析基本圖形結構特征，上升到模型中來，強化模型意識，重點落實證明過程的規范性，暴露藝術生常見的書寫、步驟等問題.

題組3

（1）（2011年新課標Ⅰ卷）如圖16，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.證明：PA⊥BD.

（2）（2018年全國卷Ⅱ）如圖17，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.證明：PO⊥平面ABC.

設計意圖：延續以上題組，多角度深挖基本圖形結構中的垂直關系，其中本題組（1）的條件類似于題組2（3），卻要用到余弦定理和勾股定理逆定理，滲透平面化思想；本題組（2）容易誤導學生使用“鱷魚嘴巴”模型，引導學生要從問題出發，結合邊長等具體條件協同思考，切忌濫用模型.

小結思考：本節課你學習了什么？你是怎樣學習的？

設計意圖：學生發言，教師點評，提高學生學后反思的意識，深化對平面基本圖形的位置關系、度量關系的認知與理解，滲透平面化等轉化思想，強化模型意識，發展直觀想象、邏輯推理等素養.

2.2.3 課后線上鞏固，師生優化梳理

A組任務：如圖18，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G，H分別是DD1，BC1，CD，AD的中點.證明：（1）MN∥平面ABCD；（2）MN⊥平面A1AG.

設計意圖：繼續采用課前線上環節學生自編的優秀題目作為課后A組作業，既能鞏固直線與平面平行、直線與平面垂直判定定理的應用，又能讓學生獲得成就感，激發學生課后完成作業的投入度.

B組任務：（1）（教材第152頁練習3）如圖19，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′.

（2）（2016年山東卷）在如圖20所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB，AB=BC，AE=EC，求證：AC⊥FB.

C組任務（選做）：請同學們從上述A，B組試題中，找出“面面垂直”關系，并給予證明.

設計意圖：一輪復習B組作業既緊扣教材，又銜接高考，加深學生對本課內容的掌握.C組作業則給學有余力的學生進行拓展，為后續復習作鋪墊.

課后的線上鞏固環節中，教師根據學生的課堂練習與課后任務反饋的結果，及時整合相關微課進行推送，學生可通過課后微課的學習，從而突破本課的重點、難點及疑點，順利達成教學目標.

3 總結與展望

結合《標準》的要求，教師要有意識地積累數學活動案例［1］，重視“實踐性智慧”，借案例進行反思，高度重視案例（包括正例和反例）的分析，并能通過案例的比較獲得關于如何從事新的實踐活動的重要啟示［3］.“O2O”是課題組結合藝術生高三備考現狀，對新型教學模式的實踐，普遍得到學生、家長的認可.它對培養學生形成獨立的學習意識、促進全面發展有重要意義，但仍存在一些問題有待解決，如課前推送的資源沒形成體系、課后微課的整合是否有效等.課題組將繼續努力，對該模式是否適用于其他課型的推廣，作進一步探究.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：83.

［2］宋昱瑩.“O2O”教學模式在高中地理教學中的應用研究［D］.石家莊：河北師范大學，2017.

［3］鄭毓信.課改背景下的數學教育研究［M］.上海：上海教育出版社，2012：109-111.