基于RMI原則的函數(shù)圖象變化教學(xué)

摘要：RMI原則（關(guān)系映射反演原則）所強(qiáng)調(diào)的轉(zhuǎn)換思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思維.對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)函數(shù)y=Asin（ωx+φ），使用RMI原則，在動(dòng)態(tài)幾何軟件的支持下，對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）進(jìn)行多重表征，幫助學(xué)生理解參數(shù)A，φ，ω的含義，并利用RMI原則解決學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生提升關(guān)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的學(xué)習(xí)表現(xiàn).

關(guān)鍵詞：RMI原則；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）；動(dòng)態(tài)幾何軟件

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提到，利用單位圓幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的定義.與具體實(shí)例相結(jié)合，了解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的實(shí)際意義;能利用函數(shù)的圖象理解參數(shù)A，ω，φ的含義，了解A，ω，φ的變化對(duì)三角函數(shù)圖象的影響［1］.

在數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)也叫做“圓函數(shù)”，因?yàn)檠芯繄A周運(yùn)動(dòng)的需要產(chǎn)生了任意角的三角函數(shù).因此任意角的三角函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，章建躍［2］老師稱其是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”.故利用單位圓來(lái)表示任意角三角函數(shù)就能清晰明了地表達(dá)出三角函數(shù)的周期性.由上所述，既然單位圓能夠清晰明了表達(dá)任意角三角函數(shù)的周期性，那么將單位圓和三角函數(shù)圖象相結(jié)合，能否簡(jiǎn)潔明了地表示出參數(shù)A，ω，φ對(duì)三角函數(shù)圖象變換的影響？筆者試圖解決以下問題：基于RMI原則，在動(dòng)態(tài)幾何軟件支持下的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）教學(xué)中，通過(guò)對(duì)三角函數(shù)圖象的多重表征，以及認(rèn)知沖突的解決能否提升學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)？

2 RMI原則與三角函數(shù)多重表征

RMI原則即關(guān)系映射反演原則.如圖1，在數(shù)學(xué)中，會(huì)存在給定一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)R，其含有一個(gè)原像x.為了求解原像x，需要找到一個(gè)可逆映射，該映射可將R變?yōu)镽*，此時(shí)能從R*中尋找出映像x*.最后通過(guò)對(duì)映像x*反演得到原像x，從而解決問題［3］.

RMI原則強(qiáng)調(diào)的是一種化歸

思想，即把一種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題映射為一

個(gè)新的容易解決的數(shù)學(xué)問題.故在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，將由于數(shù)學(xué)的抽象性所導(dǎo)致的學(xué)生學(xué)習(xí)遇到的一些抽象的、遠(yuǎn)離學(xué)生生活的數(shù)學(xué)概念通過(guò)轉(zhuǎn)換，化為直觀的、可視的圖象進(jìn)行理解.

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程中常用

多重表征來(lái)表示一個(gè)概念，從而促進(jìn)學(xué)生

對(duì)概念的理解、記憶和應(yīng)用.如函數(shù)，可

以通過(guò)列表法、圖象法和解析式法來(lái)表

示．通過(guò)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）進(jìn)行圖象表征和代數(shù)表征，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，在數(shù)和形的轉(zhuǎn)換過(guò)程中加深對(duì)參數(shù)A，ω，φ的理解，并將其應(yīng)用在數(shù)學(xué)問題的解決中.

如圖２

，在動(dòng)態(tài)幾何軟件條件下，利用RMI原則將函

數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）中參數(shù)A ，φ，ω的代數(shù)表征映射為圖象表征，通過(guò)圖象表征理解參數(shù)A ，ω，φ的含義，從而了解A，ω，φ的變化對(duì)三

角函數(shù)圖象的影響．

師生活動(dòng)：教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)點(diǎn)的平移和函數(shù)平移的關(guān)系.如圖7，根據(jù)RMI原則，

引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)y＝

sin ωx 和函數(shù)y＝sin（ωx＋φ

）建立映射關(guān)系．函數(shù)y ＝sin（ωx＋φ），當(dāng)t＝－φ

ω時(shí)得到點(diǎn)

-φω，0，對(duì)其進(jìn)行反演得到函數(shù)y=sin ωx的點(diǎn)（0，0）.

4 結(jié)論

根據(jù)RMI原則，將動(dòng)態(tài)幾何軟件與三角函數(shù)圖象變化相結(jié)合進(jìn)行課堂教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)參數(shù)A，ω，φ蘊(yùn)含的平移、伸縮變化規(guī)律有了直觀形象的理解.

這樣的教學(xué)創(chuàng)造了一

個(gè)動(dòng)態(tài)、直觀的學(xué)習(xí)情境，建立多

重表征形式加深學(xué)生的理解，提

升學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)

.但提升學(xué)習(xí)效果的不僅僅是RMI原則和動(dòng)態(tài)幾何軟件本身，還有能夠與其充分結(jié)合的教學(xué)方法和內(nèi)容，即要根據(jù)具體的內(nèi)容選擇能有效改善學(xué)生學(xué)習(xí)情景的技術(shù)手段.

RMI原則本質(zhì)是一種方法論原則，教師利用RMI原則以高觀點(diǎn)的視角進(jìn)行教學(xué)，解決學(xué)生遇到的認(rèn)知沖突并將映射反演的思維方式滲透給學(xué)生，能夠幫助學(xué)生理解知識(shí)，提升分析問題和解決問題的能力，厘清思維過(guò)程，培養(yǎng)發(fā)散性思維.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍.為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（1）：15-18.

［3］江春蓮，胡玲.基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（6）：32-39.