生長數學理念下“函數的對稱性”教學設計與思考

卜以樓老師提出的生長數學的教學主張在數學教學中產生了較大反響，掀起了廣大一線教師的生長數學教學熱潮.生長數學教學是指以數學的知識結構、思維方法、重要思想的形態、方法與生長過程，來構建數學課堂的系統、樣態、思維的生長活動.生長數學以“數學教學為學生生命成長助力”為理念，構建“以生長為構架的教與學的教學方式，堅持“讓學生享受數學思維生長全過程”的教學主張.

生長數學教學基于大局觀、整體觀構建知識體系，旨在“能貫通、能生長”，利用可遷移的基礎和經驗——“前后聯系、思維貫通”的“數學種子”，生長出更多的數學知識、思維方法和活動經驗.

函數的對稱性直觀地體現在函數圖象上，與奇偶性、單調性、周期性有著密切聯系.教材雖沒有專門的章節介紹，但在教材（人教A版）第85頁練習3、第87頁拓廣探索13、第214頁拓廣探索19等處以習題的形式呈現，近幾年全國卷高考題也多有考查.雖然能直觀地從函數圖象感知對稱性，但從“式結構”和奇偶性、周期性的聯系上，在必修一新課教學時并沒有深入、系統地對其展開研究.因而本節課從學生已有認知基礎和函數性質的研究方法出發，嘗試在生長數學的教學理念下設計高三一輪復習課教學，旨在構建學生的知識生長框架，助力思維生長，感悟生長樂趣.

1 教學內容與目標分析

函數是現代數學最基本的概念，是描述現實世界中變量關系和規律的基本數學工具，在解決現實問題中發揮著重要的作用.函數是貫穿高中數學課程的主線.2019人教A版必修一教材的函數單元以體現數學基本思考方法的問題——“什么是函數的性質”“如何研究函數性質”等，促進學生思考，讓學生在探究函數性質的完整過程中掌握研究函數性質的一般方法，提升學生學習和思考能力，并進一步研究了冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數.

單調性、奇偶性、周期性是函數的三大基本性質.函數的性質主要是函數值隨自變量的變化而變化的規律，如隨著自變量的增大函數值是增大還是減小（變化趨勢），有沒有最大值或最小值（特殊意義的取值），函數圖象有什么特征（主要是對稱性），有沒有其他特殊取值（如函數零點），等等.本節課教學目標和重難點如下：

教學目標：（1）了解對稱性的概念和幾何意義，知道基本初等函數函數的對稱性.

（2）知道對稱性與奇偶性、周期性的關系.

（3）經歷從具體到抽象、從特殊到一般的研究過程，提升數學抽象、邏輯推理素養，逐步學會用數學的思維思考世界.

重點：探究對稱性與奇偶性、周期性的關系.

難點：對稱性與奇偶性、周期性關系的應用.

2 教學過程設計

2.1 函數的軸對稱與中心對稱

師：今天和大家一起來研究“函數的對稱性”.函數的對稱性體現在函數圖象上，就是我們熟悉的圖形的對稱性，包括軸對稱和中心對稱.

教師課件呈現函數的軸對稱和中心對稱示意圖，敘述函數對稱性的定義.

師：我們已經認識了函數圖象軸對稱和中心對稱的“形特征”，如果考慮函數y=f（x），能從“數”的角度刻畫函數的軸對稱和中心對稱嗎？

學生討論得出：若函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，則有f（a+x）=f（a-x），或f（x）=f（2a-x）成立.若函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱，則有f（a+x）+f（a-x）=2b，或f（x）+f（2a-x）=2b成立.

說明：數形結合是研究函數性質的主要方法.一方面通過觀察和分析函數圖象的特征，可以得到函數的一些性質；另一方面通過對解析式的代數運算，也可得出函數的一些性質.

教師呈現基本初等函數示意圖（圖1），引導學生討論常值函數和冪函數的對稱性.

說明：高中階段學習的基本初等函數是現實世界最為基本而典型的運動變化現象的數學抽象.基本初等函數經過復合與綜合后折射出現實世界的復雜運動變化，其性質反映了現實世界中大量事物的變化規律，因而探索和掌握基本初等函數的性質，是非常重要的.整節課以基本初等函數的對稱性為問題研究鏈條，從對稱性與奇偶性，到對稱性與周期性，再到函數的互對稱，體現了本節課的研究主線，是本節課的知識結構生長點.

2.2 奇偶性與對稱性

學生討論常值函數和冪函數對稱性，回憶得出“偶函數圖象關于y軸對稱，奇函數圖象關于原點對稱”.

師：同學們總結得很好.若一個函數的圖象關于y軸對稱，那它一定是偶函數嗎？若一個函數的圖象關于原點對稱，它一定是奇函數嗎？

學生根據偶函數和奇函數的定義及前面“數結構”得出肯定的結論.教師肯定學生的結論，課件呈現教材第85頁練習3.

說明：喚醒學生的已有認知，尋根溯源，呼應教材內容，引導學生重視教材，也為從特殊推廣到一般作鋪墊.

師：對于一般的情況，若函數y=f（x）的圖象關于直線x=a（a≠0）對稱，它不一定是偶函數.你可以從y=f（x）出發，構造一個偶函數嗎？

師：若函數y=f（x）關于點（a，b）（a2+b2≠0）對稱，可以進行類似操作嗎？

說明：通過代數運算和圖象直觀，從具體到抽象、從特殊到一般，精確刻畫出對稱性和奇偶性的關系.在整個探究過程中，學生不僅掌握了知識，還學習了數學思考和研究的方法，不僅生長出新的知識和方法，也提升了數學抽象、邏輯推理核心素養.

學生討論得出，可以將函數y=f（x）的圖象通過平移得到偶函數或奇函數.總結得出如下結論：

結論1：函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱y=f（x+a）為偶函數.

結論2：函數y=f（x）的圖象關于點A（a，b）成中心對稱圖形y=f（x+a）-b為奇函數.

教師課件呈現教材第87頁拓廣探索13，肯定學生的成果.

說明：尋根溯源，呼應教材內容，引導學生重視教材.

探究1：若y=f（a+bx）為偶函數，則y=f（x）的圖象關于______對稱.

探究2：若y=f（a+bx）為奇函數，則y=f（x）的圖象關于______對稱.

追問：若y=f（a+bx）為奇函數，則f（a）=______.

說明：從形和數的角度深度認識函數的奇偶性與對稱性，進一步在所得結論1和結論2的基礎上生長出新的結論.

例1 （2017全國卷Ⅰ）已知函數f（x）=ln x+ln（2-x），則下列說法正確的是（ ）.

A.f（x）在（0，2）上單調遞增

B.f（x）在（0，2）上單調遞減

C.f（x）的圖象關于直線x=1對稱

D.f（x）的圖象關于點（1，0）對稱

例2 對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.請你根據這一發現，解答下列問題.

（1）求函數f（x）=13x3-12x2+3x-512的對稱中心；

（2）求f12 023+f22 023+f32 023+……+f2 0222 023的值.

說明：在綜合問題情境中促使學生應用所學知識解決問題，熟練掌握對稱性.

2.3 周期性與對稱性

教師呈現基本初等函數（圖1），引導學生回顧正弦函數和余弦函數的對稱性；課件呈現教材第214頁拓廣探索19，肯定學生的成果.

師：正弦函數是奇函數，原點是它的一個對稱中心，由于它具有周期性，因而有無數個對稱中心；正弦函數的圖象也是軸對稱圖形，由于周期性，它具有無數條對稱軸.對一般的函數y=f（x）而言，如果它有x=a，x=b兩條對稱軸，那么它具有周期性嗎？如果有，周期是多少？

學生自主展開探究，有的利用特殊作圖探究，有的利用數式證明.教師及時評價學生的探究成果，得出如下結論：

結論3：若函數y=f（x）以直線x=a和x=b為對稱軸，則f（x）為周期函數，且周期T=2|a-b|.

教師追問所得周期是否為最小正周期.

說明：學生比較習慣于“觀察圖象，得出性質”，所以教學中要有意識地滲透從代數角度研究函數性質的方法.在積累了一定的知識后，還要讓學生形成“由性質畫圖象”的意識.

對于函數具有（a，0），（b，0）兩個對稱中心、函數關于直線x=a和點（b，0）對稱的情形，通過探究，可得出如下結論：

結論4：若函數y=f（x）以（a，0），（b，0）為對稱中心，則f（x）為周期函數，且周期T=2|a-b|.

結論5：若函數y=f（x）以點（b，0）為對稱中心，直線x=a為對稱軸，則f（x）為周期函數，且周期為T=4|a-b|.

師：正弦函數和余弦函數作為周期函數的代表，都是既有對稱中心又有對稱軸，那是不是一般的周期函數都具有對稱性呢？如果一個周期函數具有對稱中心，即它是不是一定也有對稱軸呢？

學生討論發現，并不是所有的周期函數都具有對稱性.例如，y=|sin x|只有對稱軸，y=tan x只有對稱中心，y=x-［x］既沒有對稱軸、也沒有對稱中心.

說明：深度剖析周期性與對稱性的關系.

例3 （2021全國卷Ⅱ）已知函數f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數，f（2x+1）為奇函數，則（ ）.

A.f-12=0

B.f（-1）=0

C.f（2）=0

D.f（4）=0

例4 （2018全國卷Ⅱ）已知y=f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+……+f（50）=（ ）.

A.-50

B.0

C.2

D.50

說明：在綜合情境中促進學生掌握周期性與對稱性，積累解題經驗，強調“雙對稱→周期性”.

2.4 對稱性的拓展研究

師：前面圍繞函數的對稱性，探索了它與奇偶性、周期性的關系，更多地見證了函數值中的“等”的關系.實際上，利用對稱性也可以處理“不等”，即“大小比較”的關系.

例5 設y=f（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）單調遞減，試比較f（-1），f12，f（2）的大小.

變式 若f（x+1）是定義域為R的偶函數，且在（1，+∞）單調遞減，試比較f（-1），f12，f（2）的大小.

學生討論發現，可以將函數值的大小比較轉化為自變量與對稱軸距離的比較，亦可以將自變量轉化到同一個單調區間進行比較.

例6 設f（x）=ln xx，試比較f（2），f（3），f（5）的大小.

學生作出函數f（x）=ln xx的圖象，其沒有對稱軸，在x=e處取到極大值，呈現出左陡右緩的趨勢.由于沒有對稱軸作為參照，因此學生嘗試將自變量轉化到同一個單調區間進行比較.

由于3，5∈（e，+∞），2（e，+∞），部分學生試圖尋找（2，f（2））的等值點，發現f（2）=ln 22=ln 44=f（4），成功將三個函數值對應的自變量轉化到同一個單調遞減區間.教師乘勝追擊，提出問題.

師：如果我們沒能發現f（2）=f（4），或者下次不能進行類似轉化了，怎么辦？

生：研究點（2，f（2））關于直線x=e的對稱點（2e-2，f（2）），由3<2e-2<5，得f（3）>f（2）>f（5）.

師：如圖2，對一般的“類對稱”函數圖象，我們可以有什么發現？

學生討論得出：若f（x1）=f（x2），則x1+x2>2a.有學生提出“極值點偏移”.教師肯定學生的發現.

說明：通過運算，理解函數所蘊含的規律，掌握通過圖象直觀（定性）和運算（定量）獲得函數性質的方法，感受其中蘊含的基本數學思想.

2.5 課堂小結與展望

教師引導學生對本節課的知識和方法進行小結，如圖3.

教師呈現基本初等函數（圖1），引導學生回顧指數函數和對數函數，雖然它們本身不具有對稱性，但底數互為倒數的指數函數之間、底數互為倒數的對數函數之間、同底的指數函數和對數函數之間是具有對稱性的，由此引出下節課的課題——函數的互對稱.

說明：生長數學的課堂，是數學知識和方法能夠生根、發芽、生長的課堂，是有生命的、靈動的課堂.整節課沿著基本初等函數對稱性的思維鏈條，提出問題、解決問題，在小結后提出可以進一步研究的問題，讓學生感悟到數學生長的力量.

3 教學反思

羅曉峰在文［1］中提出生長數學的三點要義：生長點、延伸點、落腳點.生長數學要找準問題的生長點，自然遷移，強調思維的連貫性.本節課的知識生長點就是從函數圖象的對稱呈現出的“形特征”到y=f（x）的點（x，y）橫、縱坐標關系的“數表達”.方法生長點是學生已有研究函數性質的活動經驗和方法.生長數學要做好延伸點，注重知識整體結構的構建.問題的提出以回顧熟悉的基本初等函數的對稱性一以貫之，問題的解決回應了教材內容，研究中發現對稱性與奇偶性、周期性聯系緊密，建構了學生的知識整體觀，提高了學生的學習興趣.整節課學生的學習是輕松的，思維是自然的，興趣是高漲的.生長數學要深化落腳點，本節課升華了函數性質的本質，積淀了數形結合的思想，落實了數學抽象、數學運算、直觀想象的核心素養.

從結構性思維來看，卜以樓

老師強調生長數學用“式結構”與“形結構”來澆筑知識結構.本節課在第一階段“函數的軸對稱和中心對稱”，由函數圖象對稱的“形特征”到“數表達”，進行了運算推理，生長出新的結構.第二階段“奇偶性與對稱性”為學生鋪設合適的認知臺階，使學生經歷完整的學習過程，提升對函數對稱性的理解水平.第三階段“周期性與對稱性”，通過代數運算和圖象直觀構建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，提升學生的抽象思維水平，生長出新的知識.

從策略性思維來看，以深度研究為要領，在第四階段“對稱性的拓展研究”，以不變應萬變，以對稱應不對稱，更好地把握客觀世界中事物的變化規律，生長出新的思維.

從整體性思維來看，本節課的研究始于直觀、抽象數式，終于推理.以數形結合思想方法引領，以基本初等函數的對稱性一以貫之，第五階段“課堂小結與展望”總結收獲，提出新的研究問題，建立學生知識和方法的整體觀，生長出整體知識結構和方法［2］.

參考文獻：

［1］羅曉峰.生長數學的三點要義［J］.中學數學教學參考，2019（18）：70-71.

［2］龐海燕.基于整體觀構建的探究發現式教學——以“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”為例［J］.數學教學通訊，2023（12）：14-16，20.