基于“生本”理念的“一題一課”教學(xué)實(shí)踐探究

摘要：三角函數(shù)是高考中每年必考的內(nèi)容，其中的“給值求值”問題更是屢見不鮮.本文中以“三角函數(shù)中給值求值問題”為例，通過“一題一課”的課堂教學(xué)模式，充分提取教材中的典型例題、課后習(xí)題等素材進(jìn)行“再加工、再整合”，開展探究活動(dòng)，落實(shí)生本理念，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，助推學(xué)生的思維水平走向高階.

關(guān)鍵詞：給值求值；生本理念；一題一課；教學(xué)實(shí)踐

“生本教育”是郭思樂教授創(chuàng)立的一種教育思想和教育方式.生本教育是以“一切為了學(xué)生，高度尊重學(xué)生，全面依靠學(xué)生”為宗旨的教育，它既是一種方式，更是一種理念.

所謂“一題一課”［1］，就是指教師通過對(duì)一道題或某一素材的深入研究，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)與內(nèi)涵，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性理解，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題，透一點(diǎn)，通一類”的教學(xué)目標(biāo).

1 挖掘探究材料

1.1 課時(shí)內(nèi)容分析

“三角恒等變換”的知識(shí)結(jié)構(gòu)［2］如圖1.

通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握解決簡(jiǎn)單三角恒等變換的方法，同時(shí)在三角函數(shù)的簡(jiǎn)單恒等變換的運(yùn)算中可以有效訓(xùn)練邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1.2 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容來自人教A版必修第一冊(cè)第五章第五節(jié)“三角恒等變換”，變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一.代數(shù)變換是學(xué)生所熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形而不變其質(zhì).本節(jié)課，學(xué)生將運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角變換，利用湊角的方法解決給值求值問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力將得到進(jìn)一步提高.

1.3 學(xué)生情況分析

學(xué)生較好地掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，這為認(rèn)識(shí)三角變換提供了基礎(chǔ)；但對(duì)公式還不熟悉，其理解還停留在公式的表象認(rèn)知，需要教師的分析、引導(dǎo).

1.4 例題與練習(xí)分析

由表1可見，教材對(duì)給值求值的要求是很高的，需要學(xué)生掌握其運(yùn)算規(guī)律及解決方法，本節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生學(xué)會(huì)用湊角的方法，用已知角表示出未知角從而求出所求角的三角函數(shù)值.

1.5 確定教學(xué)目標(biāo)

為了讓學(xué)生深度理解給值求值問題的解決方法，特確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

（1）理解三角恒等變換的根本思想，通過觀察角之間的關(guān)系，利用湊角化未知角為已知角，培養(yǎng)整體代換和換元思想，理解化歸思想；

（2）能獨(dú)立分析和解決一些三角恒等變換“給值求值”問題；

（3）能夠靈活運(yùn)用公式，提高邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

1.6 評(píng)價(jià)任務(wù)

（1）入門測(cè)要求學(xué)生自主完成，并通過入門測(cè)涉及到的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧；

（2）通過變式訓(xùn)練的分析講解，挖掘三角函數(shù)中給值求值問題所涉及到的整體思想，同時(shí)提煉解題方法——“湊角”.

2 設(shè)計(jì)探究過程

2.1 課前自測(cè)

入門測(cè)：若sin α=13，α∈π2，π，求sinα+π4的值.

此題需學(xué)生課前完成，其完成情況如下：

學(xué)生1：利用三角恒等式及已知條件sin α=13，可以求出cos α的值，進(jìn)而運(yùn)用兩角和的正弦公式求值即可.

教師：思路沒有問題，但是否嚴(yán)謹(jǐn)，其他同學(xué)有補(bǔ)充嗎？

學(xué)生2：利用三角恒等式求cos α的值時(shí)，要注意角所在象限.

教師：非常好，我們?cè)谶\(yùn)用三角恒等式求解的時(shí)候要注意角所在象限，從而決定取值的正負(fù).

師生活動(dòng)：教師運(yùn)用希沃軟件拍照展示學(xué)生的解答過程，規(guī)范解題步驟.

說明：通過兩角和的正弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，提醒學(xué)生在利用三角恒等式求解時(shí)要注意角所在象限，避免出現(xiàn)錯(cuò)解.

2.2 探究解題方法

為了實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題，透一點(diǎn)，通一類”的教學(xué)目標(biāo)，運(yùn)用“一題一課”的教學(xué)模式，特設(shè)置如下變式問題串供學(xué)生探究.

變式1 若sinα+π4=13，α∈π2，π，求sin α的值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題有部分學(xué)生會(huì)利用兩角和的正弦公式將sinα+π4=13，展開，并結(jié)合三角恒等式聯(lián)立方程組求解；另有部分學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)α=α+π4－π4，然后利用兩角差的正弦公式求解.兩種不同的解法其運(yùn)算過程的繁雜程度明顯不同，第一種方法思路簡(jiǎn)單但運(yùn)算量較大，第二種方法技巧性較強(qiáng)但計(jì)算量明顯減小.在此進(jìn)行鋪墊說明：將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化就是數(shù)學(xué)中常說的化歸思想;我們把用已知角表示出未知角的方法叫做“湊角”.

說明：通過兩種不同解題思路的對(duì)比，學(xué)生能夠體會(huì)到“湊角”方法的優(yōu)勢(shì).由此為深層次講解“湊角”方法做好鋪墊.

變式2 若sin（α+β）=13，cos β=45，α∈π2，π，β∈0，π2，求sin α與sin（α+2β）的值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：變式1講評(píng)結(jié)束，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察變式2中已知角與未知角的關(guān)系，通過小組交流可以發(fā)現(xiàn)α=（α+β）－β，α+2β=（α+β）+β，此時(shí)學(xué)生可以輕松利用兩角和與差的正弦公式解題.在解題過程中要提示學(xué)生注意角所在象限，從而決定取值的正負(fù).

說明：通過變式1與變式2的類比，學(xué)生能夠進(jìn)一步感知利用整體思想進(jìn)行湊角的便利，同時(shí)感受由特殊到一般的方法，進(jìn)而提升歸納推理能力.

變式3 已知sinα+π4=13，sin（α+β）=－45，α∈π2，π，β∈0，π2，求sinβ－π4的值.

說明：通過增加已知角的難度，學(xué)生可以學(xué)會(huì)“舉一反三”，體會(huì)數(shù)學(xué)化歸思想.

2.3 總結(jié)提升

出門測(cè)：

（1）已知cos α=45，α∈3π2，2π，求cosα－π3的值.

（2）若α，β均為銳角，且sin α=13，cos（α+β）=－35，求sin β的值.

（3）若sin 2α=55，sin（β－α）=1010，α∈π4，π，β∈π，3π2，求cos（α+β）的值.

說明：設(shè)置出門測(cè)是為了讓學(xué)有余力的學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)，進(jìn)而培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力.

課時(shí)小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

說明：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納本節(jié)課的收獲，可以有效地幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，對(duì)所學(xué)的新知識(shí)快速做到融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用.

3 反思實(shí)踐過程

“一題一課”課堂教學(xué)模式旨在聚焦“一題”，延伸“一課”，充分挖掘典型例題背后蘊(yùn)含的價(jià)值，利用變式練習(xí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，使學(xué)生的認(rèn)知從特殊走向一般，化未知為已知.

本節(jié)課是筆者在集團(tuán)校的一節(jié)送教展示課，反響還不錯(cuò).縱觀本節(jié)課，利用具有知識(shí)生成邏輯的“變式練習(xí)”來授課，在具體的數(shù)學(xué)探究變式中讓學(xué)生體驗(yàn)、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步學(xué)會(huì)將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的化歸思想.筆者認(rèn)為本節(jié)課的成功得益于以下幾個(gè)方面.

（1）以生為本

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，本節(jié)課以學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)并熟知的兩角和與差公式的簡(jiǎn)單變形應(yīng)用的入門測(cè)小練習(xí)引入，使得學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)沒有畏懼感，有利于課堂教學(xué)的順利開展.

（2）以課本為綱

課本是學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體，脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).教師最基本且重要的職責(zé)是教好課本，而本節(jié)課恰恰是立足于教材的典型例題和課后習(xí)題，并進(jìn)行深入探究而開展的教學(xué)活動(dòng).

（3）以課堂為基

課堂是教學(xué)工作的主陣地，是學(xué)生獲取知識(shí)與能力的主要途徑，本節(jié)課以“一題一課”的課堂教學(xué)模式來開展，使教學(xué)活動(dòng)自然流暢，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成.

參考文獻(xiàn)：

［1］王先義.基于“生本”理念的“一題一課”微專題復(fù)習(xí)課探究以——“含參函數(shù)零點(diǎn)問題”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（1）：21-26.

［2］石雨卓.小專題，大功能——“探究函數(shù)y=ax+bx的圖像與性質(zhì)”教學(xué)實(shí)踐與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（1）：35-37.