深度理解教材 發(fā)展學生核心素養(yǎng)

最近兩年來，筆者閱讀各種數(shù)學雜志，發(fā)現(xiàn)有不少文章是關于單元教學設計的，現(xiàn)在有關“單元整體建構教學的實踐與思考”的理論研究也日趨增多.學習新課標、研讀新教材、把握新高考、設計新課堂的理念在教師群體中蔚然興起，新教材的顯著變化也彰顯出教材編寫方面很好地遵循“知識內容螺旋式上升，知識結構整體性”的原則.因此，我們工作在第一線的教師還需要進一步深度理解教材，關注主題單元的教學，注重學生思維發(fā)展的階段性、連續(xù)性.現(xiàn)結合以函數(shù)為主題單元的教學設計談以下幾點體會.

1 把握主題教學的基本路徑，增強教學的整體性

章建躍先生在《數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材改革》的報告中提出：數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的教材設計關注的首要問題就是明確基本套路，增強教學的整體性.報告中指出函數(shù)的基本套路：

（1）準備知識（集合、常用邏輯用語、不等式的性質）—函數(shù)的一般概念與基本性質—基本初等函數(shù).

（2）函數(shù)的一般概念：背景—概念—性質—應用.

（3）基本初等函數(shù)：背景—抽象—圖象與性質—應用.

（4）特殊函數(shù)數(shù)列：背景—概念（定義、表示）—等差（比）數(shù)列—應用.

（5）導數(shù)：物理背景、幾何背景—概念—運算及運算法則—應用［1］.

現(xiàn)在新版教材有很大的變化，也符合函數(shù)基本套路的研究，人教A版數(shù)學必修第一冊第一章是“集合與常用邏輯用語”，第二章是“一元二次函數(shù)、方程和不等式”，第三章是“函數(shù)的概念與性質”.新版教材在這部分內容安排上做了新的調整，因為隨著對數(shù)學認知的再發(fā)展，經(jīng)過一年又一年的教學實踐，數(shù)學本身有著嚴密的知識體系，數(shù)學課堂教學要求講授新知識前充分鋪墊準備知識.其實這部分內容在沒調整之前，很多教師也是先復習二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式后再開始講授高中數(shù)學知識.數(shù)學知識的系統(tǒng)性要求數(shù)學教學內容也要層層鋪墊、環(huán)環(huán)相扣，符合學生認知規(guī)律.比如，高中函數(shù)的概念教學是高一數(shù)學教學的一個難點，高中函數(shù)概念和初中函數(shù)概念之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，教材安排第一章學習集合與常用邏輯用語的意圖是讓學生學會用數(shù)學語言來描繪數(shù)學概念.學習集合語言能讓學生在經(jīng)歷對初中函數(shù)概念升華的過程中，完成初中函數(shù)的“變量”觀點向高中函數(shù)“集合”與“對應”觀點的轉變，培養(yǎng)學生用發(fā)展的觀點學習數(shù)學.人教A版數(shù)學必修第一冊第二章新安排復習一元二次函數(shù)、方程和不等式.不僅復習了初中二次函數(shù)的知識，還復習了一元一次方程和一元一次不等式的解法，深化了初中一元二次方程和一元二次不等式的解法，接著又新安排學習不等式的性質和基本不等式等內容.不等式的解法和分解因式的知識，為后面繼續(xù)學習證明函數(shù)的單調性、函數(shù)零點、函數(shù)和方程、函數(shù)和不等式、比較函數(shù)值大小等做了一個很好的運算鋪墊.教材這樣安排，在學生元認知的基礎上找準了新知識的生長點，增強了教學的連續(xù)性和整體性.

2 重視概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)

數(shù)學抽象是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)在數(shù)學教材中也處處有體現(xiàn).如何在課堂中培養(yǎng)學生抽象能力？例如人教A版數(shù)學必修第一冊“3.1函數(shù)的概念及其表示”這一節(jié)，教材首先探究了四個問題.第一個問題的設計意圖是基于學生的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設情境，路程S隨時間t變化而變化，這個問題學生初中就理解得很到位，符合學生的認知基礎，提升點在于明確時間t和路程S的變化范圍.第二個問題對應的函數(shù)不連續(xù)，離散型變量能讓學生進一步體會并關注自變量取值范圍的重要性.第三個問題的設計意圖是用圖象來刻畫函數(shù)，因為這個函數(shù)很難用解析式表示，圖象本身就是函數(shù)的一種表示形式.第四個問題的讓學生思維產(chǎn)生碰撞，再一次感知變量依存的局限性，再從圖象的角度認識函數(shù).問題四設計意圖是函數(shù)可以用列表法表示，列表法體現(xiàn)了集合A，B間的“對應”雛形，為順利實現(xiàn)從初中函數(shù)概念“變量說”升華到高中函數(shù)概念“對應說”作鋪墊.教材安排的四個問題，讓學生從不同角度認知函數(shù)的不同表達形式，實現(xiàn)從感性認知到理性認知的飛躍，這是新教材從生活實例中第一次抽象函數(shù)的概念.

函數(shù)的表示除了解析法、圖象法、列表法外，還可以引進符號f統(tǒng)一表示對應關系，強調符號y=f（x）表示“y是x的函數(shù)”，這個對應關系也可以用任意的小寫英文字母g，h等表示.如h（x）=2x+1，g（x）=2x+1，f（x）=2x+1表示同一個函數(shù)；再如f（t）=2t+1與f（m）=2m+1也表示相同的函數(shù).這個函數(shù)符號的引入，是第二次抽象函數(shù)，從而培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象思維能力，使學生原有的認知結構更優(yōu)化.

3 探求性質的研究方法，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

認真研讀新課程標準，筆者發(fā)現(xiàn)新課程標準對于學生邏輯推理新的培養(yǎng)有明確和具體的要求.新課程標準要求教師通過教授高中數(shù)學課程，能讓學生掌握邏輯推理的基本形式，發(fā)展學生邏輯推理核心素養(yǎng).筆者有幸聽過沈春妍老師的一節(jié)公開課，這節(jié)課對學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)給筆者留下了深刻的印象.沈老師并不是帶領學生用“乘公比錯位相減法”推導等比數(shù)列的求和公式，而是避開這種操作性的常規(guī)訓練和教條式講解，創(chuàng)設問題情境，給學生獨立思考和真實探索的機會，真正引發(fā)學生的認知沖突.學生的精彩發(fā)言部分如下：

方法1：由特殊到一般猜想歸納法.

對于Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，先提取公因式再轉化求和，令

Tn=1+q+q2+……+qn-1，然后對q特殊化，取q=1，2，3，……，再對n特殊化，取n=1，2，3，……，經(jīng)過多次猜想，歸納得出Tn=qn-1q-1，從而得出等比數(shù)列的求和公式Sn=na1，q=1，a1（1-qn）1-q，q≠1.這是由特殊到一般歸納形成等比數(shù)列前n項和公式.在數(shù)列的學習過程中，教材多處體現(xiàn)了歸納推理是研究數(shù)列問題的常見策略，我們可用分析法來證明這個猜想.

途徑（1）：對q≠1，欲證Sn=a1（1-qn）1-q，只需證（1-q）Sn=a1（1-qn），只需證Sn-qSn=a1-a1qn（以下證明略）.

途徑（2）：對q≠1，Sn=a1（1-qn）1-q，n=1顯然成立，對n≥2時，Sn=a1+a2+……+an，只需證明Sn-Sn-1=an=a1qn-1（以下證明略）.

一題多思是課堂教學必須實施的環(huán)節(jié)，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，展示學生思維的過程，讓學生的思維更有邏輯性.

方法2：方程與函數(shù)解法.

由等比數(shù)列前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1出發(fā)，從這個表達式中，我們發(fā)現(xiàn)只需要a1，q和n這三個基本量即可表示出求和公式.因此可得

Sn=a1+q（a1+a1q+……+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），（n≥2），整理為

Sn=a1-qan1-q=a1（1-qn）1-q（q≠1，n≥2，n∈N*），然后再討論n=1時和q=1時的情況，進一步完善等比數(shù)列求和公式.教師引導學生檢驗，可以讓學生思維更嚴謹.

方法3：乘公比錯位相減法.

這個方法的難點是“如何想到求Sn與qSn之差”，即難點在于“發(fā)現(xiàn)公式”.有的學生預習了教材內容直接在課堂上搬用，沒有預習教材的學生很難想到這種方法.沈老師從等比數(shù)列前n項和出發(fā)，由等比數(shù)列的通項公an=a1qn-1和等比數(shù)列通項的遞推關系式an=an-1q，puv75D3gtXrej4dTLOmrCg==去分析求和公式的結構，幫助學生找到了推理論證的切入點.這個地方可以類比剛剛學過的“等差數(shù)列”和“裂項求和”知識點.等差數(shù)列求和是根據(jù)通項的結構特征，利用運算律轉化為常值合并，來消去很多中間項;等比數(shù)列求和則要根據(jù)通項的結構特征，利用運算律轉化為相同項抵消，來消去很多中間項（即乘公比錯位相減法）.因此，如果從單元設計角度，整體把握知識的脈絡，就能彰顯前后知識的密切聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)知識之間并不孤獨.盡管課堂有瑕疵，但這是智慧的課堂，是真正的數(shù)學課堂.

4 借助概念背景，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)

新課標中要求的對學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，在課堂中怎么完成？在高考中，一道道嶄新的題目呈現(xiàn)在考生面前，需要考生自己根據(jù)新情境去分析、去抽象、去概括、去判斷，去運算、去找到相應的數(shù)學模型，進而解決問題.而這個能力在哪個環(huán)節(jié)中培養(yǎng)？筆者認為應該從新教材設置的新情境中去培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng).

例如，人教A版教材必修第一冊“5.6函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”中給出的情境中蘊含著用一個函數(shù)模型刻畫筒車運動的規(guī)律.筆者在講授這節(jié)時，引導學生自己動手去完成建模活動，出乎意料的是，班級有部分學生用銳角三角函數(shù)建立了高度與時間的關系，通過分類討論，解決了筒車的問題.學生為什么不假思索想到銳角三角函數(shù)，而不是想到正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h呢？這是因為銳角三角函數(shù)是學生初中就已經(jīng)掌握的知識，印象深刻.而學生對于正弦型函數(shù)是刻畫周而復始運動規(guī)律的模型，還沒有深刻的認識.因此在給筒車運動建模時，部分學生選擇了銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)的確能夠解決這個筒車問題，但這是不是最好的數(shù)學模型？筆者引導學生理解新教材中用三角函數(shù)刻畫圓周運動的規(guī)律作為思考的切入點，重新建模.然后，筆者利用多媒體展示學生的建模結果，并請學生敘述建模的構想.學生各抒己見，部分學生用正弦型函數(shù)一次建模成功，還有部分學生選取單位圓作為初始模型，然后改變圓的半徑、角的起始位置和角速度的大小，最終完成建模.筆者倒是非常欣賞學生的第二種建模過程，因為這個學生抓住了單位圓是三角函數(shù)學習中的一條主線，思路清晰，有理有據(jù)；建模過程中同時也深刻闡述了三角函數(shù)中A，ω，φ和h的實際意義.這個思路讓班級大部分學生大徹大悟.這節(jié)課師生、生生相互交流，享受對話的美妙，課堂呈現(xiàn)出生動活潑動態(tài)的局面.另外，在講授這節(jié)課時，有的教師把教科書中的筒車問題與例2即摩天輪問題合并成一個問題講解，這是對教材的理解不到位；如果可以合并，教材就完全沒必要設置生活中兩個圓周運動的實例.筒車情景作為課題的引入，是引導學生用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型，摩天輪問題是讓學生體會運用自己構建的三角函數(shù)模型解決簡單的實際問題.教材這樣設置能深度發(fā)展學生數(shù)學建模核心素養(yǎng).

因此，準確理解和把握數(shù)學課程標準和新教材，是對一名合格的中學教師的基本要求.教師作為教學的組織者、引導著和參與者，必須增強自己駕馭教材的能力，認真分析教材，關注主題單元的教學，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］章建躍.數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材改革［R］.北京：人民教育出版社課程教材研究所，2020.

［2］李海東.突出函數(shù)本質，重視研究過程，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)——《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》函數(shù)主題教材設計與教學建議［J］.中學數(shù)學教學參考，2019（28）：12-16.